行列式と外積
$ n次元ベクトル空間のn-ベクトルは1次元であり、係数として面積や体積を一般化したような量を持つ
このような量は$ n\times n行列の行列式として定義される
$ \bigwedge_{k=1}^n \bm a_k=\det(A)\bigwedge_{k=1}^n\bm e_k
この定義が妥当なのかどうか見ていこう。
ベクトルに行列をかけるとベクトルになるため、ウェッジ積を適用できる。
$ \bigwedge_{k=1}^n A\bm x_k=k\bigwedge_{k=1}^n(\bm e_k)
行列積の性質$ \det(AB)=\det(A)\det(B)と似た性質を示すため、以下の性質を示せ。
$ \bigwedge_{k=1}^n A\bm x_k=\lambda_A\bigwedge_{k=1}^n\bm x_k$ \cdots(1)
👷工事中
$ (1)より
$ \bigwedge_{k=1}^n(AB)\bm e_k=\bigwedge_{k=1}^nA(B\bm e_k)
$ \lambda_{AB}\bigwedge_{k=1}^n\bm e_k=\lambda_A\bigwedge_{k=1}^nB\bm e_k
$ =\lambda_A\lambda_B\bigwedge_{k=1}^n\bm e_k
$ \therefore\lambda_{AB}=\lambda_A\lambda_B
が示せる。
また、$ (1)より、
$ \bigwedge_{k=1}^nI\bm x_k=\bigwedge_{k=1}^n\bm x_k=\lambda_I\bigwedge_{k=1}^n\bm x_kとなり、
$ \lambda_I=1となる。。
これにより、
$ 1\bigwedge_{k=1}^n\bm e_k=\bigwedge_{k=1}^nI\bm e_k
$ =\bigwedge_{k=1}^n(AA^{-1})\bm e_k=\lambda_{A}\bigwedge_{k=1}^nA^{-1}\bm e_k
$ =\lambda_A\lambda_{A^{-1}}\bigwedge\bm e_k
$ \therefore \lambda_A\lambda_{A^{-1}}=1