面積・体積・外積

面積や体積を高次元に一般化するにはどうすれば良いだろうか。

面積を考える際も、体積を考える際も、結局細かく分けた領域の面積や体積を測定して足し合わせる操作をする

→積分のこと

よって、極めてシンプルな図形の面積や体積を考えておけば良いだろう。

長方形と直方体の面積

2次元図形のうち、極めてシンプルなものといえば長方形である。

3次元図形のうち、極めてシンプルなものといえば直方体である。

平行四辺形と平行六面体の面積

これらの図形は長方形や直方体を歪ませたものである。

その面積を求めるのは容易ではないが、図形が平行な線分で囲まれているという利点は残されている。

平行な線分を扱うためにベクトルを導入する。

https://gyazo.com/d7e03ae662b15d3cc117f95842978813

$ S(\bm x,\bm y+a\bm x)=S(\bm x,\bm y)

https://gyazo.com/0f38656f2dbfeb5e9dc05f8999ea7da5

$ S(\bm x,\bm y+b\bm y)=S(\bm x,\bm y)+S(\bm x,b\bm y)

$ S(\bm x,k\bm y)=kS(\bm x,\bm y)

https://gyazo.com/ba60ae8e835cbe81a3776ac27a8d532e

$ S(\bm x,\bm y+(a\bm x+b\bm y))=S(\bm x,a\bm x+(1+b)\bm y)=S(\bm x,(1+b)\bm y)

$ =S(\bm x,\bm y)+S(\bm x,b\bm y)

平行六面体でも同様に、他の固定した成分と平行な成分が潰れる

$ V(\bm x,\bm y,\bm z+a\bm x)=V(\bm x,\bm y,\bm z)

$ V(\bm x,\bm y,\bm z+b\bm y)=V(\bm x,\bm y,\bm z)

$ V(\bm x,\bm y,\bm z+c\bm z)=V(\bm x,\bm y,\bm z)+V(\bm x,\bm y,c\bm z)

$ V(\bm x,\bm y,k\bm z)=kV(\bm x,\bm y,\bm z)

$ V(\bm x,\bm y,\bm z+(a\bm x+b\bm y+c\bm z))=V(\bm x,\bm y,a\bm x+b\bm y+(1+c)\bm z)=V(\bm x,\bm y,(1+c)\bm z)

$ =V(\bm x,\bm y,\bm z)+V(\bm x,\bm y,c\bm z)

ここで、面積や体積について、1本のベクトルを動かす場合、それ以外のベクトルの成分は潰れてしまうため、線形性が成立する。

$ S(\bm e_1,a\bm x+b\bm y)=S(\bm e_1,a(x_1\bm e_1+x_2\bm e_2)+b(y_1\bm e_1+y_2\bm e_2))

$ =S(\bm e_1,(ax_1+by_1)\bm e_1+(ax_2+by_2)\bm e_2)

$ =S(\bm e_1,(ax_2+by_2)\bm e_2)

$ =(ax_2+by_2)S(\bm e_1,\bm e_2)

$ =ax_2S(\bm e_1,\bm e_2)+by_2S(\bm e_1,\bm e_2)

$ =aS(\bm e_1,x_2\bm e_2)+bS(\bm e_1,y_2\bm e_2)

$ S(\bm e_1,\bm x)=S(\bm e_1,x_1\bm e_1+x_2\bm e_2)

$ =S(\bm e_1,x_2\bm e_2)

同様に、

$ S(\bm e_1,\bm y)=S(\bm e_1,y_2\bm e_2)

$ =V(\bm e_1,\bm e_2,(ax_3+by_3)\bm e_3)

$ =(ax_3+by_3)V(\bm e_1,\bm e_2,\bm e_3)

$ =ax_3V(\bm e_1,\bm e_2,\bm e_3)+by_3V(\bm e_1,\bm e_2,\bm e_3)

$ =aV(\bm e_1,\bm e_2,x_3\bm e_3)+bV(\bm e_1,\bm e_2,y_3\bm e_3)

$ V(\bm e_1,\bm e_2,\bm x)=V(\bm e_1,\bm e_2,x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+x_3\bm e_3)

$ =V(\bm e_1,\bm e_2,x_3\bm e_3)

同様に、

$ V(\bm e_1,\bm e_2,\bm y)=V(\bm e_1,\bm e_2,y_3\bm e_3)

これらの考察から、超平行多面体の超体積(?)を求める計算について以下の公理を要請すると良さそうだ。

$ \mu:\R^n\times\cdots\times \R^n\to\R

多重線型性

$ \mu(a\bm x+b\bm y,\bm c_2,\cdots,\bm c_n)=a\mu(\bm x,\bm c_2,\cdots,\bm c_n)+b\mu(\bm y,\bm c_2,\cdots,\bm c_3)

他の引数についても同様に線形性が成立

同じ元を引数に取ると0になる

$ \mu(\bm x,\bm x,\bm c_3,\cdots,\bm c_n)=0

よって、ウェッジ積は超体積を求める計算になる。

ウェッジ積は計算後の値に基底成分が残るが、その大きさが超体積(?)になると考えることができる。

$ \bm c_1\wedge\cdots\wedge\bm c_n=\mu(\bm c_1,\cdots,\bm c_n)(\bm e_1\wedge\cdots\wedge\bm e_n)