ウェッジ積
ベクトル$ Vを始域に持ち、以下の公理を満たす積$ \wedge:V\times V\to ?を考えよう。
$ a\in K$ \bm v,\bm x,\bm y,\bm z\in Vとする。
$ (a\bm x+\bm y)\wedge\bm v=a(\bm x\wedge\bm v)+\bm y\wedge\bm v
$ \bm v\wedge(a\bm x+\bm y)=a(\bm v\wedge\bm x)+\bm v\wedge\bm y
これにより、$ (a\bm x)\wedge\bm y=\bm x\wedge(a\bm y)=a\bm x\wedge\bm yと書ける。
$ \bm x\wedge\bm x=0_\wedge
ただし、$ 0_\wedgeは終域でのゼロを表す
$ 0_\wedge+(\bm x\wedge\bm y)=\bm x\wedge\bm y
$ a(\bm x\wedge\bm y)+\bm z\wedge\bm v\in {\rm Im}(\wedge)
記号$ \wedgeのことをウェッジと呼び、この計算をウェッジ積、あるいは楔積と呼ぶ。 同じく外積と呼ばれるクロス積との関係は後述する。
まず、交代性を表す式が見慣れた形じゃない理由を考えてみよう。
見慣れた交代式を導くには、$ \bm x+\bm yに対して交代性を適用してみれば良い。
$ 0_\wedge=(\bm x+\bm y)\wedge(\bm x+\bm y)\quad\because ({\footnotesize 交代性})
$ =\bm x\wedge\bm x+\bm x\wedge\bm y+\bm y\wedge\bm x+\bm y\wedge\bm y
$ =0_\wedge+\bm x\wedge\bm y+\bm y\wedge\bm x+0_\wedge
$ =\bm x\wedge\bm y+\bm y\wedge\bm x
$ \therefore \bm x\wedge\bm y=-\bm y\wedge\bm x
逆に、この式で、$ \bm y:=\bm xとすると、
$ \bm x\wedge\bm x+\bm x\wedge\bm x=0_\wedge
$ 2\bm x\wedge\bm x=0_\wedge
$ K=\mathbb F_2のとき、$ 2=0となり、元の式を導けなくなる。
それ以外であれば、導ける。
次に、先程まで$ ?で表していた、ウェッジ積の終域について考えてみよう。
2次元の場合
まず、始域を2次元ベクトルとしてみると、基底を用いて以下のように表せる。
$ \bm x=x_1\bm e_1+x_2\bm e_2
$ \bm y=y_1\bm e_1+y_2\bm e_2
これらのウェッジ積を計算すると、次のようになる。
$ \bm x\wedge\bm y=(x_1\bm e_1+x_2\bm e_2)\wedge(y_1\bm e_1+y_2\bm e_2)
$ =x_1y_1\bm e_1\wedge\bm e_1+x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2+x_2y_1\bm e_2\wedge\bm e_1+x_2y_2\bm e_2\wedge\bm e_2$ \because双線型性
$ =0_\wedge+x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2+x_2y_1\bm e_2\wedge\bm e_1+0_\wedge$ \because交代性
$ =x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2+x_2y_1\bm e_2\wedge\bm e_1$ \becauseゼロの定義
$ =x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2-x_2y_1\bm e_1\wedge\bm e_2$ \because交代性
$ =(x_1y_1-x_2y_1)\bm e_1\wedge\bm e_2$ \because双線型性
基底のウェッジ積はこれ以上計算できずに取り残される。
係数として、二次元のクロス積と同じ形が現れる。
$ \bm x\wedge\bm y=(\bm x\times\bm y)\bm e_1\wedge\bm e_2
3次元の場合
次に、始域を3次元ベクトルとしてみると、基底を用いて以下のように表せる
$ \bm x=x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+x_3\bm e_3
$ \bm y=y_1\bm e_1+y_2\bm e_2+y_3\bm e_3
これらのウェッジ積を計算すると、次のようになる。
$ \bm x\wedge\bm y=(x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+x_3\bm e_3)\wedge(y_1\bm e_1+y_2\bm e_2+y_3\bm e_3)
$ =x_1y_1\bm e_1\wedge\bm e_1+x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2+x_1y_3\bm e_1\wedge\bm e_3
$ +x_2y_1\bm e_2\wedge\bm e_1+x_2y_2\bm e_2\wedge\bm e_2+x_2y_3\bm e_2\wedge\bm e_3
$ +x_3y_1\bm e_3\wedge\bm e_1+x_3y_2\bm e_3\wedge\bm e_2+x_3y_3\bm e_3\wedge\bm e_3$ \because双線型性
$ =0_\wedge+x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2+x_1y_3\bm e_1\wedge\bm e_3
$ +x_2y_1\bm e_2\wedge\bm e_1+0_\wedge+x_2y_3\bm e_2\wedge\bm e_3
$ +x_3y_1\bm e_3\wedge\bm e_1+x_3y_2\bm e_3\wedge\bm e_2+0_\wedge$ \because交代性
$ =x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2+x_2y_1\bm e_2\wedge\bm e_1
$ +x_2y_3\bm e_2\wedge\bm e_3+x_3y_2\bm e_3\wedge\bm e_2
$ +x_3y_1\bm e_3\wedge\bm e_1+x_1y_3\bm e_1\wedge\bm e_3$ \becauseゼロの定義
$ =x_1y_2\bm e_1\wedge\bm e_2-x_2y_1\bm e_1\wedge\bm e_2
$ +x_2y_3\bm e_2\wedge\bm e_3-x_3y_2\bm e_2\wedge\bm e_3
$ +x_3y_1\bm e_3\wedge\bm e_1-x_1y_3\bm e_3\wedge\bm e_1$ \because交代性
$ =(x_1y_2-x_2y_1)\bm e_1\wedge\bm e_2
$ +(x_2y_3-x_3y_2)\bm e_2\wedge\bm e_3
$ +(x_3y_1-x_1y_3)\bm e_3\wedge\bm e_1$ \because双線型性
2次元の場合と同様に、基底のウェッジ積はこれ以上計算できずに取り残される。
また、係数として3次元のクロス積と同じ構造が現れる
クロス積は2次元ベクトルと3次元ベクトルの他に、7次元ベクトルに対しても定義される。
また、複素数、四元数、八元数、十六元数……はクロス積の定義に大きく関わっている。
ナイス補足Summer498.icon
おいwSummer498.icon
ウェッジ積に対するウェッジ積
ウェッジ積の終域に元のベクトル空間の基底が残ったが、それ以外は普通の積和形である。
そこで、ウェッジ積の始域を拡大してウェッジ積の終域に対しても適用できるようにしてみよう。
いま、3次元ベクトルを以下のように定義する。
$ \bm x=x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+x_3\bm e_3
$ \bm y=y_1\bm e_1+y_2\bm e_2+y_3\bm e_3
$ \bm z=z_1\bm e_1+z_2\bm e_2+z_3\bm e_3
このとき、
$ (\bm x\wedge\bm y)\wedge\bm z
$ =
$ =\left\{(x_1y_2-x_2y_1)\bm e_1\wedge\bm e_2+(x_2y_3-x_3y_2)\bm e_2\wedge\bm e_3+(x_3y_1-x_1y_3)\bm e_3\wedge\bm e_1\right\}
$ \wedge(z_1\bm e_1+z_2\bm e_2+z_3\bm e_3)
ここで、$ \bm e_1\wedge\bm e_1=0_\wedgeのようになることを考えつつ式変形すると
$ =(x_1y_2z_3-x_2y_1z_3)\bm e_1\wedge\bm e_2\wedge\bm e_3
$ +(x_2y_3z_1-x_3y_2z_1)\bm e_2\wedge\bm e_3\wedge\bm e_1
$ +(x_3y_1z_2-x_1y_3z_2)\bm e_3\wedge\bm e_1\wedge\bm e_2
$ =(x_1y_2z_3-x_2y_1z_3)\bm e_1\wedge\bm e_2\wedge\bm e_3
$ (x_2y_3z_1-x_3y_2z_1)\bm e_1\wedge\bm e_2\wedge\bm e_3
$ (x_3y_1z_2-x_1y_3z_2)\bm e_1\wedge\bm e_2\wedge\bm e_3
これはスカラー三重積の定義によく似ている
$ =k\bm e_1\wedge\bm e_2\wedge\bm e_3
長いので$ k\in Kで省略。
このように、ウェッジ積積を複数回適用することで基底のwedge積を基底とする新たなベクトル空間を生成できる。
$ k個のベクトル$ \bm x_1,\cdots,\bm x_k\in Vにウェッジ積を適用して得られる値の集合を、$ k次外冪と呼び、$ \wedge^k\left(V\right)と書く。
$ \bm x_1\wedge\cdots\wedge\bm x_k\in\wedge^k(V)
よって、ウェッジ積の始域と終域は次のようになる
$ \wedge:\wedge^{n}(V)\times\wedge^{m}(V)\to\wedge^{n+m}(V)
$ \wedge^n(V)をまとめて$ \bigwedge(V)と表すことにすれば、
$ \wedge:\bigwedge(V)\times\bigwedge(V)\to\bigwedge(V)
となり、演算が閉じる。
なお、$ Vの次元が$ nのとき、$ n+1個のベクトルに対してウェッジ積を適用すると、必ず基底が足りなくなるので解は$ 0_{\wedge^{n+1}}になる。
2回以上ウェッジ積を適用することを考え始めたので、公理に結合律を追加しよう。
新公理
体$ K上のベクトル$ Vを線形部分空間として含むベクトル空間$ \bigwedge(V)に関して閉じている積$ \wedge:\bigwedge(V)\times \bigwedge(V)\to \bigwedge(V)に関して以下の公理を要請する。
$ a\in K$ \bm v,\bm x,\bm y,\bm z\in \bigwedge(V)とする。
$ (a\bm x+\bm y)\wedge\bm v=a(\bm x\wedge\bm v)+\bm y\wedge\bm v
$ \bm v\wedge(a\bm x+\bm y)=a(\bm v\wedge\bm x)+\bm v\wedge\bm y
これにより、$ (a\bm x)\wedge\bm y=\bm x\wedge(a\bm y)=a\bm x\wedge\bm yと書ける。
$ \bm x\wedge\bm x=0_\wedge
ただし、$ 0_\wedgeは終域でのゼロを表す
$ 0_\wedge+(\bm x\wedge\bm y)=\bm x\wedge\bm y
テンソル代数とウェッジ積の接続
ウェッジ積に現れる基底$ \bm e_1\wedge\bm e_2は元のベクトル空間の基底$ \bm e_1と$ \bm e_2を組み合わせたもののように見える。
では、同じく基底を組み合わせて新たなベクトル空間を生成するテンソルとは何が違うのだろうか？ テンソル代数は体$ K上の多元環(ある体上の双線型な乗法を備えた線形空間)である。
$ (a\bm x+\bm y)\otimes\bm v=a(\bm x\otimes\bm v)+\bm y\otimes\bm v
$ \bm v\otimes(a\bm x+\bm y)=a(\bm v\otimes \bm x)+\bm v\otimes\bm y
ウェッジ積はテンソル代数に交代性を導入したものと考えられる。
この操作は、本来$ \bm x\otimes\bm x\ne0であるにも関わらず、$ \bm x\otimes\bm x=0とみなした新たな代数系を構築する操作である。
類似事例として、整数$ \Zから$ nの倍数を$ 0とみなす剰余操作がある。
これを$ \mathbb Z/n\mathbb Zと書く。
$ 0とみなされ、除外される要素の集合をイデアルと呼び除外後の代数体系を商集合と呼ぶ。 $ 0が必要なため、イデアルは環の部分集合である。
$ (\bigwedge(V),\wedge,+)は多元環の商集合なので商多元環と呼ぶ。
このことから、ウェッジ積の始域と終域を体$ Kに設定すると、mod を拡張した体系を得ることがわかる。
例: $ 4\wedge 3=(1+3)\wedge3=1\wedge3
これは $ 4\ {\rm mod}\ 3=1 の計算をしているのと同じ
なっるっほっど～！takker.iconnishio.icon
この視点はなかった
どっちも特定の要素が消えると言うことで共通している
てことは微分とイデアルもかなり関係しているのでは？
微分は二重数（$ \varepsilon^2=0\quad\varepsilon\ne0なる数を導入して拡張した環$ \R\oplus\{\varepsilon\}）で再定義できるでSummer498.icon
ということは、この$ \{\varepsilon^2\}がイデアルになる
つまり、$ (\R\oplus\{\varepsilon\})/\{\varepsilon^2\}が内部的に微分の構造を保持する
やっぱり～takker.icon
終域が体$ K上のベクトル空間を成すことを、それ以外の公理からどこまで示せるか試してみよう。
まず、終域が$ +に関して可換群を成すことを示す。
単位元と逆元の存在を示す
交代性から、$ 0_\wedgeが定義されており、(単位元の存在)
$ \bm x\wedge\bm y+\bm y\wedge\bm x=0_\wedgeであるため、
$ -(\bm x\wedge\bm y)=\bm y\wedge\bm x (逆元の存在)
結合律を示す
$ \bm a,\bm b,\bm s,\bm t,\bm x,\bm y\in Vとする。
$ (\bm a\wedge\bm b+\bm s\wedge\bm t)+\bm x\wedge\bm y
👷工事中Summer498.icon
マイナスの分配律を示す
$ (\bm x\wedge\bm y+\bm z\wedge\bm v)-(\bm x\wedge\bm y+\bm z\wedge\bm v)=0_\wedge
$ =\bm x\wedge\bm y-\bm x\wedge\bm y
$ =\bm x\wedge\bm y+0_\wedge-\bm x\wedge\bm y
$ =\bm x\wedge\bm y+\bm z\wedge\bm v-\bm z\wedge\bm v\wedge-\bm x\wedge\bm y
可換性を双線型性から示す。
$ (\bm x\wedge\bm y+\bm z\wedge\bm v)-(\bm x\wedge\bm y+\bm z\wedge\bm v)