縮約記法を完全に理解したい

上下で共変反変を分けるのはわかった

上下が違う同じ添字の総和を取るサイトと単に同じ添字の和を取るサイトがある

どっちやねん

正規直交基底なら共変も反変も等しくなるので、区別する必要がない

ちゃんと説明する

$ \because \pmb a\cdot\pmb e_2=a_0\pmb e_0\cdot\pmb e_2+a_1\pmb e_1\cdot\pmb e_2+a_2\pmb e_2\cdot\pmb e_2=0+0+a_2=a_2

上付き添字を使っている

$ \because \pmb b\cdot\pmb f_2=b^0\pmb f_0\cdot\pmb f_2+b^1\pmb f_1\cdot\pmb f_2+b^2\pmb f_2\cdot\pmb f_2\ne0+0+b^2

直交性が成り立たないので、うまいこと他の成分が消えてくれない

これが共変と反変が対消滅する理由であり、上下の添字を足し合わせる理由である

$ \pmb b\cdot\pmb f^2=b^0\pmb f_0\cdot\pmb f^2+b^1\pmb f_1\cdot\pmb f^2+b^2\pmb f_2\cdot\pmb f^2=0+0+b^2=b^2

$ \therefore b^2=\pmb b\cdot\pmb f^2

以下のように行列を構成すれば OK

$ \begin{pmatrix}\bm f_0&\bm f_1&\bm f_2&\bm f_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm f^0&\bm f^1&\bm f^2&\bm f^3\end{pmatrix}^{-1}

$ \pmb a=a_i\pmb f^i=(\pmb a\cdot\pmb f_i)\pmb f^i\quad\text{.for }\forall\pmb a

$ \implies \pmb f_j=(\pmb f_j\cdot\pmb f_i)\pmb f^i

$ \iff \pmb f_j=g_{ji}\pmb f^i

$ \iff \pmb f^i={[\pmb g]^{-1}}_{ji}\pmb f_j

$ \underline{\iff\pmb f^i={[\pmb g]^{-1}}_{ij}\pmb f_j\quad}_\blacksquare

ここでベクトルが「数ベクトル」ではない可能性があることを考慮しないとなんでこんなややこしいことをしているのかがわからない

曲がった空間を扱わない力学では正規直交基底しか使わないので、区別してない文献がほとんどだと思う

微分を使いたい場面が来ればいいんさね

他者の理解度が外からだとわからないので、どこまで説明したらいいかがわからない

上で説明した共変と反変の解釈は、このページのと若干食い違う

正規直交でない座標での成分を扱うために導入されたもの、という点は一致する

「反変ベクトル」や「共変ベクトル」というものが存在するという点が食い違う

その場合座標変換によってテンソルが変わるということになる

一定の座標変換規則を持つ量をテンソルと定義している背景はこれだろうな

「反変ベクトル」や「共変ベクトル」は、それぞれ(何らかの基底を基準に)反変基底で表したベクトル、共変基底で表したベクトルのことを言っているのだと思う

自分の流儀で言い換えるなら

「反変ベクトル」→ベクトルの反変成分

「共変ベクトル」→ベクトルの共変成分

となる