共変と反変
デカルト座標系にいると理解できない概念
デカルト座標系は性質が良すぎるため
共変と反変はどっちがどっちでも良い
取り敢えず共変基底で考える
座標系$ (x,y,z)から座標系$ (x',y',z')に移し替える際に以下を満たすベクトル$ \bm aを反変ベクトルという
$ \begin{pmatrix}a'^x\\a'^y\\a'^z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x'}{\partial x}&\frac{\partial x'}{\partial y}&\frac{\partial x'}{\partial z}\\\frac{\partial y'}{\partial x}&\frac{\partial y'}{\partial y}&\frac{\partial y'}{\partial z}\\\frac{\partial z'}{\partial x}&\frac{\partial z'}{\partial y}&\frac{\partial z'}{\partial z}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^x\\a^y\\a^z\end{pmatrix}
具体的に
座標のスケールを 10 倍にすると値が $ \frac{1}{10} になるベクトル
モノ長さを mm で測っていると $ x mm だったものが cm で測ると $ \frac{1}{10}x cm になる
大抵のものが反変ベクトルであることが分かる
反変ベクトル成分は上付き添字で書く
座標系$ (x,y,z)から座標系$ (x',y',z')に移し替える際に以下を満たすベクトル$ \bm vを共変ベクトルという
$ \begin{pmatrix}b_x'\\b_y'\\b_z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial x'}&\frac{\partial y}{\partial x'}&\frac{\partial z}{\partial x'}\\\frac{\partial x}{\partial y'}&\frac{\partial y}{\partial y'}&\frac{\partial z}{\partial y'}\\\frac{\partial x}{\partial z'}&\frac{\partial y}{\partial z'}&\frac{\partial z}{\partial z'}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}
具体的に
基底そのものは座標系と同じ変化をする
座標スケールを 10 倍にするということは基底の長さを 10 倍にするということです (小泉構文) 偏微分の変換はチェーンルールにより共変ベクトルだと分かる
$ \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x'}\\\frac{\partial}{\partial y'}\\\frac{\partial}{\partial z'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial x'}&\frac{\partial y}{\partial x'}&\frac{\partial z}{\partial x'}\\\frac{\partial x}{\partial y'}&\frac{\partial y}{\partial y'}&\frac{\partial z}{\partial y'}\\\frac{\partial x}{\partial z'}&\frac{\partial y}{\partial z'}&\frac{\partial z}{\partial z'}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}
スカラー量を座標で偏微分したものが共変ベクトル
電場
共変ベクトル成分は下付き添字で書く
反変ベクトルの変換と共変ベクトルの変換の関係
$ A = \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial x'}&\frac{\partial y}{\partial x'}&\frac{\partial z}{\partial x'}\\\frac{\partial x}{\partial y'}&\frac{\partial y}{\partial y'}&\frac{\partial z}{\partial y'}\\\frac{\partial x}{\partial z'}&\frac{\partial y}{\partial z'}&\frac{\partial z}{\partial z'}\\\end{pmatrix} (反変の変換行列)
$ \bm a'=A\bm a
$ B=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial x'}&\frac{\partial y}{\partial x'}&\frac{\partial z}{\partial x'}\\\frac{\partial x}{\partial y'}&\frac{\partial y}{\partial y'}&\frac{\partial z}{\partial y'}\\\frac{\partial x}{\partial z'}&\frac{\partial y}{\partial z'}&\frac{\partial z}{\partial z'}\\\end{pmatrix} (共変の変換行列)
$ \bm b'=B\bm b
$ A^\top=B^{-1}
定理
$ \bm a'^\top\bm b'=\bm a^\top\bm b
証明
$ \bm a'^\top\bm b'
$ =\bm a^\top A^\top B\bm b
$ =\bm a^\top B^{-1} B\bm b
$ =\bm a^\top\bm b
共変ベクトルを反変ベクトルにする方法があるらしい
共変ベクトルでも反変ベクトルでもないベクトルがあるらしい
量ではないもの？