アーベル・ルフィニの定理
五次以上の代数方程式は代数的な方法で一般解を求められない。
つまり、解の中に四則演算と冪根を取る操作を有限回繰り返すだけでは表現できないものが存在する。
代数方程式について
代数方程式は有理数を係数とした多項式を等号で結んだものである。
$ \frac{p_n}{q_n}x^n+\cdots+\frac{p_1}{q_1}x+\frac{p_0}{q_0}=0
ここで、分母を払っても一般性を失わない。
両辺に$ \prod_{k=0}^nq_kをかけると、分母$ q_iが除去される→$ \prod_{k\ne i}q_k
見た目をスリムにするために$ q'_i=\prod_{k\ne i}q_kとすると、
$ p_nq_n'x^n+\cdots+p_1q_1'x+p_0q_0'=0
このようにすると、整数係数多項式を等号で結んだものと考えても一般性を失わない。
また、最高次数の項の係数を1にしても一般性を失わない（コチラは有理係数）
$ x^n+\frac{q_n}{p_n}\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}x^{n-1}+\cdots+\frac{q_n}{p_n}\frac{p_1}{q_1}x+\frac{q_n}{p_n}\frac{p_0}{q_0}=0
体
有理数は、四則演算に関して閉じている。このような集合と演算の組を体という。
このページでは積が可換な体について考える。
代数方程式の係数が体を成す時、係数体と呼ぶ。
一次方程式
一次方程式の解は係数体内で閉じる。
$ ax+b=0の解は$ x=-\frac baであり、係数体内の演算で閉じている。
二次方程式
二次方程式の解は係数体内で閉じていない。
問題:
$ x^2=2の解が有理数にならないことを示せ。
$ x^2=-1の解が実数にならないことを示せ。
二次方程式$ x^2+ax+b=0の係数体$ \mathbb Fに平方根$ \sqrt{D}を添加した体について考えよう
$ p,q,D\in\mathbb Fとした時、
1. $ \mathbb F(\sqrt D)=\{p+q\sqrt{D}\}_{\forall p,q\in\mathbb F}が元の係数体を含むことを示せ。
→ $ q=0とすると$ p+q\sqrt{D}=p\in\mathbb Fであり、$ pは$ \mathbb Fの任意の元を表すので、題意を示した。
2. $ \mathbb F(\sqrt D)が体を成すことを示せ。
和
$ (p_1+q_1\sqrt D)+(p_2+q_2\sqrt D)=(p_1+p_2)+(q_1+q_2)\sqrt D
$ p_1+p_2\in\mathbb F,\ q_1+q_2\in\mathbb Fなので、$ p+q\sqrt Dの形になっている。
→ 演算が閉じていることが示せた。
積
$ (p_1+q_1\sqrt D)(p_2+q_2\sqrt D)=(p_1p_2+q_1q_2D)+(p_1q_2+q_1p_2)\sqrt D
同様に$ p+q\sqrt Dの形になっている。
$ D\in\mathbb Fなので$ q_1q_2D\in\mathbb Fであることに注意
$ \mathbb F(\sqrt D)のように、元の体構造を保持しつつ、新しい元を追加した体を拡大体(上にある体)という。 $ \mathbb F(\sqrt D)/\mathbb Fのように左に拡大体を右に基礎体を書いて体の拡大を表す。 代数方程式の解の公式の存在問題は、代数方程式の解は係数体の冪根拡大体に閉じているかを問う問題である。
3. $ p+q\sqrt Dと$ p-q\sqrt Dの和と積が基礎体$ \mathbb Fに含まれることを示せ。
$ (p+q\sqrt D)+(p-q\sqrt D)=2p\in\mathbb F
$ (p+q\sqrt D)(p-q\sqrt D)=p^2-q^2D\in\mathbb F
先ほど示した事実により、二次方程式の解は$ p\pm q\sqrt Dの形で書けることがわかる。
二次方程式を解から構築しよう。
$ 0=(x-(p+q\sqrt D))(x-(p-q\sqrt D))
$ =x^2-2px+(p^2-q^2D)
これは各係数が係数体$ \mathbb Fに属しているため、元の二次方程式の範囲に入る。
4. 係数$ -2pと$ p^2-q^2 Dが係数体$ \mathbb Fの任意の元と対応することを示せ。
任意の$ a,b\in\mathbb Fに対して、$ p=-\frac a2、$ D=\frac{p^2-b}{q^2}のように設定することで、
$ -2p=a、$ p^2-q^2D=b
ここまでの議論で、二次方程式の根が冪根拡大体$ \mathbb F(\sqrt D)に属することがわかった。
解と係数の関係
二次方程式の議論で、解の係数を観察した。
二次方程式の解を$ \alpha_1,\alpha_2とすると、二次方程式は次のように書ける。
$ 0=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)
$ =x^2-(\alpha_1+\alpha_2)x+\alpha_1\alpha_2
和の可換性と積の可換性より
$ =x^2-(\alpha_2+\alpha_1)x+\alpha_2\alpha_1
このように、特定の値を入れ替えても式の値が変わらないことを対称であるといい、対称性がある式を対称式という。
二次方程式も解に関して対称だが、その係数だけに着目しても解に関して対称である。
一般に、$ n次方程式において、係数は解に関して対象になる。
体の和の可換性と積の可換性により従う。
三次方程式
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