ラグランジュの分解式
n次方程式の解を$ \frac{2\pi}nずつ回転させて足し合わせたものをレゾルヴァンと呼ぶ。
すなわち、
n次方程式$ \prod_{k=1}^n(x-\alpha_k)=0に対して
$ r=\sum_{k=1}^n\alpha_k\omega^kをレゾルヴァンと呼ぶ
ただし、$ \omegaは1の原始根: $ \left\{\begin{matrix}\omega^k=1&(k\in n\Z)\\\omega^k\ne1&(k\not\in n\Z)\end{matrix}\right. したがって、最後の項は$ \alpha_n\omega^n=\alpha_n\cdot1=\alpha_nとなる。
なお、1の原始根はn毎に異なるため、$ \omega_nと表記するほうが適切だが、べき乗が$ \omega_n^kのようになり見苦しいので
単に$ \omegaと書き、区別する必要があるときだけ$ \omega_nと書く。
1の原始根の性質
(結合律) $ (\omega_n^a\omega_n^b)\omega_n^c=\omega_n^a(\omega_n^b\omega_n^c)
(単位元) $ 1\omega_n^a=\omega_n^a
(巡回性) $ \omega_n^n=1
(逆元) $ \omega_n^{a}\omega_n^{n-a}=\omega_n^n=1
べき乗和が0になる
1の原始根は定義から次のn次方程式の解である
$ 0=x^n-1
$ =(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)
$ =(x-1)\left(\sum_{k=0}^{n-1}x^k\right)
$ x\ne 1なので
$ 0=\sum_{k=0}^{n-1}x^k
あるいは$ 1=x^nより
$ 0=1+\sum_{k=1}^{n-1}x^k
$ =x^n+\sum_{k=1}^{n-1}x^k
$ =\sum_{k=1}^{n}x^k
レゾルヴァンの性質
$ \omega_nをかけることで解を1つ横にずらせる(解の入れ替えを表現できる)
$ r=\alpha_1\omega_n+\alpha_2\omega_n^2+\cdots+\alpha_{n-1}\omega_n^{n-1}+\alpha_n\omega_n^n$ \qquad←比較用
$ \omega_nr=\alpha_1\omega_n^2+\alpha_2\omega_n^3+\cdots+\alpha_{n-1}\omega_n^{n}+\alpha_n\omega_n^{n+1}
$ =\alpha_n\omega_n+\alpha_1\omega_n^2+\cdots+\alpha_{n-2}\omega_n^{n-1}+\alpha_{n-1}\omega_n^{n}
$ n乗すると実係数の$ \omega_nに関する多項式を得る
まず、集合$ Sの要素を$ k個選び取る方法を次のように書く
$ \begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}
例えば$ \{a_k\}_kから 2 個選び取る方法を
$ r^n=\left(\sum_{k=1}^n\alpha_k\omega_n^k\right)^n
$ =\left(\prod_{k=1}^n\alpha_k\right)\omega_n^{kn}+n\sum_{j=1}^n\prod_{k\ne j}
5次までの方程式について、統一的な解法を模索するためにレゾルヴァンを用いる。
従って、レゾルヴァン自体の性質はそれほど考える必要はない
さっさと本題に移ろう。
2次方程式
$ x^2+2ax+b=0の解を$ x_1,x_2とおけば、レゾルヴァンは次のように計算できる
$ r=x_1+\omega x_2
$ =x_1-x_2
ここで、$ r^2について考えてみれば
$ r^2=(x_1-x_2)^2
$ =x_1^2+x_2^2-2xy
$ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2
$ =(-2a)^2-4b$ \qquad\because解と係数の関係より
$ =4a^2-4b
$ \therefore r=\pm2\sqrt{a^2-b}
$ rの定義から
$ x_1=\frac{(x_1+x_2)+(x_1-x_2)}2=\frac{-2a+r}2=\frac{-2a\pm2\sqrt{a^2-b}}2=-a\pm\sqrt{a^2-b}
選ばれなかった側が$ x_2になる
$ \therefore x=-a\pm\sqrt{a^2-b}
3次方程式
$ 0=x^3+3ax^2+6bx+2cの解を$ x_1,x_2,x_3とおけば、レゾルヴァンは次のように計算できる
$ r=\omega x_1+\omega^2 x_2+\omega^3x_3
ここで、$ r^3について考えてみれば、
$ u=r^3=(x_1^3+x_2^3+x_3^3+6x_1x_2x_3)+3(x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1)\omega+3(x_3x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_3^2)\omega^2