平坦トーラス
読み：へいたんトーラス
英語：flat torus
4次元空間における、ある（2次元）トーラス。
我々の3次元空間では、正方形または長方形の紙を1回「丸めて」円筒を作ることはできても、円筒をもう1回丸めてトーラスを作ることは、紙が伸び縮みしない限りはおそらくできない（脚注 *1 *2）。
ところが、4次元空間においては、伸び縮みしない紙であってもこの2回めの丸めが容易に可能だ。
数式
$ a, bを正の実数定数とする。
code:latex
T \coloneqq \left\{
\left( x, y, z, w \right)^\top \in \mathbb{R}^4
\mid
x^2+y^2=a^2, z^2+w^2=b^2
\right\}
これは辺が $ 2\pi a, 2 \pi b の紙から作られるものだ。
ところで、次の抽象的な距離空間を考える。（距離の入れ方は割愛）
code:latex
T' \coloneqq \mathbb{R}^2 / \left( 2\pi a \mathbb{Z} \times 2\pi b \mathbb{Z} \right)
すると、$ Tと$ T'の間には、位相同型であるだけでなく、距離空間としての同型写像が存在している。
$ Tの点は原点からの距離が一定である。
$ a^2+b^2=r^2なる正の数$ rをとると、$ Tは半径$ rの超球面に収まっており、この超球面を2つに分ける「壁」となる。 余談
紙を折って重ねることを認めれば、3次元でも紙からトーラスが作れる。
例えば、円筒を平たく潰してからなら丸められる。他にも、4つに折った紙をテープでうまく綴じればトーラスとみなせる。
折り紙数学ではそうやってよく紙を重ねるが、数学的にはどういう定式化をしているのだろう。
曲率の計算したことありません
関連
脚注
*1 ひょっとしたら真円にこだわらなければできるのかもしれない。なんかネット上で3次元空間に平坦トーラスが埋め込み可能という記述を見かけた。
*2 これはトポロジーがゴム膜の幾何学と呼ばれることの説明に使われることがある。