距離空間による連続写像の定義⇔位相空間による連続写像の定義

$ \forall a\in X:((\forall\varepsilon>0\exist\delta>0\forall x:(d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon))\iff\mathcal N_Y(f(a))\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal N_X(a)))

$ \forall\varepsilon>0\exist\delta>0\forall x:(d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon)

$ \iff\forall\varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in B_{X\delta}(a):f(x)\in B_{Y\varepsilon}(f(a))

$ \iff\forall\varepsilon>0\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon}(f(a)))

$ \iff☆

$ \forall\varepsilon>0\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon}(f(a)))

$ \iff\forall N\in\mathcal N_Y(f(a))\forall\varepsilon>0\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon}(f(a)))

$ \iff\forall N\in\mathcal N_Y(f(a)):\begin{dcases}\exist\varepsilon_N>0:B_{Y\varepsilon_N}(f(a))\subseteq N\\\forall\varepsilon>0\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon_N}(f(a)))\end{dcases}

$ \implies\forall N\in\mathcal N_Y(f(a))\exist\varepsilon_N>0:\begin{dcases}B_{Y\varepsilon_N}(f(a))\subseteq N\\\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon_N}(f(a)))\end{dcases}

$ \implies\forall N\in\mathcal N_Y(f(a))\exist\varepsilon_N>0\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon_N}(f(a)))\subseteq f^\gets(N)

$ \implies\forall N\in\mathcal N_Y(f(a))\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(N)

$ \iff\forall N\in\mathcal N_Y(f(a)):f^\gets(N)\in\mathcal N_X(a)

$ \iff\mathcal N_Y(f(a))\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal N_X(a))

$ \mathcal N_Y(f(a))\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal N_X(a))

$ \iff\forall N\in\mathcal N_Y(f(a)):f^\gets(N)\in\mathcal N_X(a)

$ \implies\forall\varepsilon>0:f^\gets(B_{Y\varepsilon}(f(a)))\in\mathcal N_X(a)

$ \iff\forall\varepsilon>0\exist\delta>0:B_{X\delta}(a)\subseteq f^\gets(B_{Y\varepsilon}(f(a))

$ \iff☆