超準解析入門－超実数と無限大の数学－
超準解析がやろうとしていることの意味も解説されている
前提理解が足らなかった
p.10 3.2 フィルターと超フィルター
背景
無限大や無限小を数として取り扱うために、Cauchy列でない数列も全て対象に含める しかしそうすると、$ a:=(1,0,1,0,\cdots),b:=(0,1,0,1,\cdots)のような数列をどの超実数に割り当てられるのか判断できない
$ :\iff\begin{dcases}\mathcal F\subsetneq 2^\N&(1)\\\varnothing\neq\mathcal F&(2)\\\forall A,B\in\mathcal F;A\cap B\in\mathcal F&(3)\\\forall A\in2^\N;\mathcal F\cap2^A\neq\varnothing\implies A\in\mathcal F&(4)\end{dcases}
(1)と(4)より$ \varnothing\notin\mathcal Fである
(4)は$ \exist B;\mathcal F\ni B\subseteq Aなら$ Aもfilterに含まれるということ
$ \mathcal F内の要素より大きな要素は全て$ \mathcal Fに含まれる
性質
$ \forall n\in\N\forall\mathcal A\in{2^2}^\N;n\in\bigcap\mathcal A\implies\mathcal A\text{ is a filter}
$ \forall A,B\in\mathcal F;A\cap B\neq\varnothing
(2)と$ \varnothing\notin\mathcal Fから示せる
また直ちに$ \forall A\in\mathcal F;\N\setminus A\notin\mathcal Fも導かれる
どんな商集合もfilterでないこともわかる
$ \mathcal F_0がfilterであることを示す
目的
$ A,B(\subseteq\N)の大小関係を決めたい
$ A>B:=A\in\mathcal F
この「なんらかのfilter」を開発する
$ \mathcal F\text{が超filterである}:\iff \forall\mathcal F'\in\text{Filters};\mathcal F\subseteq\mathcal F'\implies\mathcal F=\mathcal F'
$ \iff \forall\mathcal F'\in\text{Filters};\mathcal F\cap(2^\N\setminus\mathcal F')\neq\varnothing\lor\mathcal F=\mathcal F'
$ \iff \lnot\exist\mathcal F'\in\text{FIlters};\mathcal F\subsetneq\mathcal F'
$ \mathcal F=\tilde{\mathcal F}
$ \iff\forall A\in2^\N;A\in\mathcal F\veebar\N\setminus A\in\mathcal F(1)
$ \iff\forall A,B\in2^\N;A\cup B\in\mathcal F\implies A\in\mathcal F\lor B\in\mathcal F(2)
$ \iff\forall n\in\N\forall A:[0,n]\to2^\N;\bigcup_iA_i\in\mathcal F\implies\exist i\le n;A_i\in\mathcal F (3)
(2)$ \iff(3)は単に2個をn個に増やしただけなので自明
$ ^*\Rを構成する
$ a\sim b:\iff\{n\in\N|a_n=b_n\}\in\tilde{\cal F}_0
同じ値になる項の添字集合が「大きい」ものを同じ数とみなす
$ \simが同値関係であることを証明する
$ ^*\R:=(\R^\N/\sim,+,\cdot)として、超実数を構成する 演算子の定義
$ C(a)+C(b):=C(i\mapsto a_i+b_i)
$ -C(a):=C(i\mapsto -a_i)
$ C(a)C(b):=C(i\mapsto a_ib_i)
$ C(a)^{-1}:=C(i\mapsto {a_i}^{-1})
ただし、$ C(a)\neq C(i\mapsto0)とする
$ C(a)\le C(b):\iff\{n\in\N|a_n\le b_n\}\in\tilde{\cal F}_0
超実数の分類
$ C(\alpha)が有限超実数である$ :\iff\exist a,b\in\R;C(i\mapsto a)<C(\alpha)<C(i\mapsto b) $ C(\alpha)が無限小超実数である$ :\iff\forall\varepsilon>0;|C(\alpha)|<C(i\mapsto\varepsilon) $ \alpha:i\mapsto iのとき、$ C(\alpha)は無限大超実数であり、
$ C(\alpha)^{-1}(=C(i\mapsto\frac1 i))は無限小超実数である
解析学への適用
$ C(\alpha)\approx C(\beta):\iff C(\alpha)-C(\beta)が無限小超実数である
$ \approxは同値関係になる
$ \forall a:\N\to\R\forall\omega\in^*\N;a_\omega:=C(i\mapsto a_{\omega_i})\in^*\R
$ a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)\iff任意の無限大超自然数$ \omegaに対して$ a_\omega\approx\alpha
証明
4.2 連続関数
$ \forall f:\R\to\R;^*f:=(^*\R\ni\omega\mapsto(i\mapsto f(\omega_i))\in^*\R)
$ \forall a\in I;(f(x)\to f(a)\quad(x\to a))\iff\forall\alpha\approx a;^*f(\alpha)\approx f(a)
$ \forall I\in2^\R\forall\alpha\in^*I\exist a\in I;\alpha\approx a