Cauchy列
任意の距離空間$ (X,d)にて、$ \forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n> N:d(x_N,x_n)<\varepsilonを満たす点列$ x:\N\to Xを(Cauchy列|基本列)と呼ぶ 定義の仕方がいろいろあるが、どれも同じ
$ (\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n>N:d(x_N,x_n)<\varepsilon)\iff(\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall m,n>N:d(x_m,x_n)<\varepsilon)
$ \because\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n>N:d(x_N,x_n)<\varepsilon
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n>N:d(x_N,x_n)<\frac12\varepsilon
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall m,n>N:d(x_N,x_n)<\frac12\varepsilon\land d(x_N,x_m)<\frac12\varepsilon
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall m,n>N:d(x_m,x_n)\le d(x_m,x_N)+d(x_N,x_n)<\varepsilon
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall m,n>N:d(x_m,x_n)<\varepsilon
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n>N:d(x_{N+1},x_n)<\varepsilon
$ m=N+1>Nを代入
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N_{>1}\forall n>N-1:d(x_N,x_n)<\varepsilon
$ Nを$ N-1にずらす
$ \iff\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n\ge N:d(x_N,x_n)<\varepsilon
$ \implies\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n>N:d(x_N,x_n)<\varepsilon
$ x_\bulletが基本列$ \implies\lVert x_{n+1}-x_n\rVert\to0\pod{n\to\infty}
逆は成立しなさそうtakker.icon
$ \forall M\in\N\forall\varepsilon>0\exist N\in\N\forall n\in\N_{>N}\forall\Delta\in\N_{\le M}:\lVert x_{n+\Delta}-x_n\rVert<\varepsilonまでは示せるが、$ \forall Mを$ \exist Nの中に移動できない
References
$ \forall n> Nを$ \forall n\ge Nとしているが、同値だと思われる
Cauchy列より基本列という言い回しを使っていきたいtakker.icon