質量中心周りの一様な重力場の力のmomentは0
前提
重心で考える場合は、一様でなくても求まりそう
導出
領域$ Dに作用する重力を考える。
$ \pmb{g}: 重力加速度
$ \pmb{r}\mapsto\rho(\pmb{r}): 位置$ \pmb{r}での密度
$ M:=\int_D\rho(\pmb{r})\mathrm{d}V: 領域$ Dの全質量
質量中心$ \pmb{r}_Gまわりの力のmomentの合計$ \pmb{N}は $ \pmb{N}=\int_D(\pmb{r}-\pmb{r}_G)\times\rho(\pmb{r})\pmb{g}\mathrm{d}V
$ =\int_D\rho(\pmb{r})(\pmb{r}-\pmb{r}_G)\times\pmb{g}\mathrm{d}V
$ =\left(\int_D\rho(\pmb{r})(\pmb{r}-\pmb{r}_G)\mathrm{d}V\right)\times\pmb{g}
$ =\left(\int_D\rho(\pmb{r})\pmb{r}\mathrm{d}V-\int_D\rho(\pmb{r})\pmb{r}_G\mathrm{d}V\right)\times\pmb{g}
$ =(M\pmb{r}_G-M\pmb{r}_G)\times\pmb{g}
$ \because
質量中心の定義より$ \int_D\rho(\pmb{r})\pmb{r}\mathrm{d}V=M\pmb{r}_G $ =\pmb{0}
$ \therefore \pmb{N}=\pmb{0}
これでもいい
$ \int_D\pmb{r}\times\rho(\pmb{r})\pmb{g}\mathrm{d}V=\int_D\pmb{r}\rho(\pmb{r})\mathrm{d}V\times\pmb{g}=\pmb{r}_G\times M\pmb{g}
2022-04-18 21:12:59 これなんのメモだ？いらないよな
逆は成り立たない
物体をある一点でぶら下げたとき、その一点から鉛直方向におろした直線(=作用線)上の任意の点で、重力場による力のmomentは0になる 逆を成り立たせるためには、自由状態で力をを与えた時に物体が回転するときの、回転中心と言えばいい？takker.icon この辺り、詳しく計算する必要がありそう