素因数分解の一意性を線型独立に使えないか試

脳内だけで紙に書き出したことはないので、ほとんど思考を進められていないが

$ \iff \forall n\in\N;\ln n=\sum_{p\in\Bbb{P}}\mathrm{ord}_p(n)\ln p

$ \def\ord{\mathrm{ord}}=\ord_2(n)\ln2+\ord_3(n)\ln3+\ord_5(n)\ln5+\ord_7(n)\ln7+\cdots

線型空間に要求される演算が成立するかが肝か

$ \Bbb{V}=\{v\in\R_{\ge0}|\exists n\in\N;v=\ln n\}

$ ka+lb=\ln\left(\left(e^a\right)^k\left(e^b\right)^l\right)\in \Bbb{V}

$ \because e^a,e^b\in\N

加算とスカラー倍についてはちゃんと閉じているようだ

演算法則

交換法則も分配法則も結合法則も問題なさそう

単位元の存在

加算

$ 0\in \Bbb{V}

$ 0+a=a

スカラー倍

$ 1\in \Z_{\ge0}

$ 1\cdot a=a

(加算のみ)逆元の存在

しまった！逆元が存在しない！

$ \forall a\in\Bbb{Q}\setminus\{0\}\exists! q:\Bbb{P}\rightarrow\Z;|a|=\prod_{p\in\Bbb{P}}p^{q(p)}

たとえば2のn乗全体の集合は、上述した線型空間の部分空間となる