積分練習帳
今手元にプリントがないので、具体的な中身は後ほど書く
もちろんそのままコピペするのではなく、自分なりに書き換えて載せる
とはいえ、重要な計算しか載っていないので、数値以外あまり変えられるところがなかったりする
やってみる
21:08:05 かなり厳しい
https://gyazo.com/e1d3a0a1179b8b06dc2a190a904cc841
https://kakeru.app/875d5685bdebfe5c45c0aa10f65f70d4 https://i.kakeru.app/875d5685bdebfe5c45c0aa10f65f70d4.svg
スペースが狭すぎる
紙に書いた方がずっといい
ペンタブならなんとかなるかも
内容を考える
基本函数
以下を微分せよ
$ \mathrm{d}(x)=
$ \mathrm{d}\left(x^a\right)=
$ \mathrm{d}\left(\frac1x\right)=
$ \mathrm{d}(\cos x)=
$ \mathrm{d}(\sin x)=
$ \mathrm{d}\left(e^x\right)=
$ \mathrm{d}(\ln x)=
上の結果を参考にして、逆微分を求めよ
$ x\mathrm{d}x=
$ x^a\mathrm{d}x=
$ \frac1x\mathrm{d}x=
$ \cos x\mathrm{d}x=
$ \sin x\mathrm{d}x=
$ e^x\mathrm{d}x=
3.
$ x^2\mathrm{d}x
$ \frac1x\mathrm{d}x
$ \frac1{x^2}\mathrm{d}x
4.
合成函数
基本
$ \mathrm{d\left((3x+2)^2\right)}=
$ \mathrm{d\left(\sqrt{2-3x}\right)}=
$ \mathrm{d\left(\frac{1}{2x+1}\right)}=
$ \mathrm{d}(\cos 3x)=
$ \mathrm{d}(\sin 2x)=
$ \mathrm{d}\left(e^{2x}\right)=
$ \mathrm{d}\left(e^{x^3}\right)=
累乗
$ \mathrm{d}\left((x^2-1)^6\right)=
$ \mathrm{d}\left(\sqrt{x^3+1}\right)=
$ \mathrm{d}\left((\cos x)^2\right)=
$ \mathrm{d}\left((\sin x)^3\right)=
対数
$ \mathrm{d}\left(\ln|x^2+1|\right)=
$ \mathrm{d}\left(\ln|\cos x|\right)=
$ \mathrm{d}\left(\ln|\sin x|\right)=
$ \mathrm{d}\left(\ln(e^x+1)\right)=
$ \mathrm{d}\left(\ln|\ln x|\right)=
1.
$ \int_0^{\frac14\pi}\cos3x\mathrm{d}x=
$ \int_0^{\frac12\pi}\sin2x\mathrm{d}x=
$ \int_0^1\frac1{2x+1}\mathrm{d}x=
$ \int_0^1\ln(3x+2)\mathrm{d}x=
2. $ \sqrt{a^2-x^2}型
3. $ \frac1{a^2+x^2}型
4. いろいろ
積の積分
1.
$ \mathrm{d}(x\cos x)=
$ \mathrm{d}(x\sin x)=
$ \mathrm{d}\left(xe^x\right)=
$ \mathrm{d}\left(x\ln x\right)=
積分の漸化式
1. $ x^ne^x\mathrm{d}x
回答
$ \def\d{\mathrm{d}}x^ne^x\d x=x^n\d\left(e^x\right)=\d\left(x^ne^x\right)-ne^xx^{n-1}\d x
よって、$ I:n\mapsto\int x^ne^x\mathrm{d}xのとき
$ I(n+1)=x^{n+1}e^x-(n+1)I(n)
ちなみに、$ \Delta I=x^{n+1}e^x-(n+2)Iとも書ける
いずれも$ n\in\Rで成立する
と思ったけど符号が逆か
$ x^{-n}e^xならいけるか
2. $ (\ln x)^n\mathrm{d}x
回答
$ \def\d{\mathrm{d}}(\ln x)^n\d x=\d(x(\ln x)^n)-n(\ln x)^{n-1}\d x
3. $ \int_0^{\frac12\pi}(\cos x)^n\mathrm{d}x
4. $ \int_0^{\frac12\pi}(\sin x)^n\mathrm{d}x
5. $ \int_0^{\frac12\pi}(\cos x)^m(\sin x)^n\mathrm{d}x
$ x^m(1-x)^n\mathrm{d}x
回答：$ \def\d{\mathrm{d}}x^m(1-x)^n\d x=\frac1{m+1}(1-x)^n\d(x^{m+1})=\frac1{m+1}x^{m+1}(1-x)^n-\frac{n}{m+1}x^{m+1}(1-x)^{n-1}\d x
$ x\in[0,1] で右辺初項が$ 0になるため、$ n>0のとき
$ \int_0^1x^m(1-x)^n\mathrm{d}x=\frac{n}{m+1}\int_0^1x^{m+1}(1-x)^{n-1}\mathrm{d}x
となる
三角函数
$ \cos(\alpha+\beta)=
$ \cos(\alpha-\beta)=
$ \sin(\alpha+\beta)=
$ \sin(\alpha-\beta)=
逆三角函数
1. 逆三角函数の計算
$ \forall |x|\le1;\cos\sin^{-1}(x)=
回答：$ \forall |x|\le1;\cos\sin^{-1}(x)= \sqrt{1-\left(\sin\sin^{-1}x\right)^2}=\sqrt{1-x^2}
$ \forall |x|\le1;\sin\cos^{-1}(x)=
回答：$ \forall |x|\le1;\sin\cos^{-1}(x)= \sqrt{1-\left(\cos\cos^{-1}x\right)^2}=\sqrt{1-x^2}
$ x=f\circ f^{-1}(x)を用いて以下を求める
$ \mathrm{d}\left(f^{-1}(x)\right)=
回答
$ \mathrm{d}x=f'\circ f^{-1}(x)\mathrm{d}\left(f^{-1}(x)\right)
$ \therefore\mathrm{d}\left(f^{-1}(x)\right)=\frac{1}{f'\circ f^{-1}(x)}\mathrm{d}x
3.
$ \mathrm{d}\left(\cos^{-1}x\right)=
$ \mathrm{d}\left(\sin^{-1}x\right)=
4.
$ \mathrm{d}\left(\cos^{-1}2x\right)=
$ \mathrm{d}\left(\sin^{-1}3x\right)=
逆三角函数の問題はこっちに入れようか？
2重積分
何か入れたいな
etc.