確率測度の基本的性質
1. $ P(\varnothing)=0
証明
$ P(\varnothing)=P(\varnothing\cup\varnothing)
$ =P(\varnothing)+P(\varnothing)
$ \underline{\implies P(\varnothing)=0\quad}_\blacksquare
2. (単調性)$ \forall A,B\in\mathcal F:A\subseteq B\implies P(A)\le P(B) 証明$ \forall A,B\in\mathcal F:
$ A\subseteq B
$ \iff B=A\cup(B\setminus A)
$ \implies P(B)=P(A\cup(B\setminus A))
$ = P(A)+P(B\setminus A)
$ \ge P(A)
$ \because(P1)
$ \underline{\implies\forall A,B\in\mathcal F:(A\subseteq B\implies P(A)\le P(B))\quad}_\blacksquare
3. $ \forall A,B\in\mathcal F:P(A\setminus B)=P(A)-P(B)
証明
$ P(A)=P((A\setminus B)\cup B)
$ = P(A\setminus B)+P(B)
$ \underline{\therefore\forall A,B\in\mathcal F:P(A\setminus B)=P(A)-P(B)\quad}_\blacksquare
4. $ \forall A:\in\mathcal F:P(A)\in[0,1]
ここから、$ P:\mathcal F\to[0,1] と書いてもいい
証明
1.より$ \forall A\in\mathcal F:P(A)\le P(\Omega)
これと(P1),(P3)より、
$ \underline{\therefore\forall A:\in\mathcal F:P(A)\in[0,1]\quad}_\blacksquare
5. (確率の和の法則)$ \forall A,B\in\mathcal F:P(A\cup B)+P(A\cap B)=P(A)+P(B)