流管における運動量保存則の導出
定常流れであればいい
ある定常流れの流管中の検査領域中の流体の運動量変化を調べる
https://kakeru.app/4d496082c3c882032628fb908c8b8da7 https://i.kakeru.app/4d496082c3c882032628fb908c8b8da7.svg
$ \mathrm{d}t間の流管$ V内での運動量流束変化$ \mathrm{d}Mとそれに働く外力を$ \pmb{F}とすると、運動量保存則より$ \mathrm{d}M=\pmb{F}\mathrm{d}tとなる
運動量流束変化$ \mathrm{d}Mの内訳
$ \mathrm{d}M=\underbrace{(\rho_2\pmb{v}_2\cdot\pmb{S}_2)\pmb{v}_2\mathrm{d}t}_{増えた}-\underbrace{(\rho_1\pmb{v}_1\cdot\pmb{S}_1)\pmb{v}_1\mathrm{d}t}_{減った}
$ \pmb{S}_\bullet：地点$ s_\bulletでの流管の断面積vector
向きは流線と同じ
$ =(\rho_1\pmb{v}_1\cdot\pmb{S}_1)(\pmb{v}_2-\pmb{v}_1)\mathrm{d}t
$ \because \rho_1\pmb{v}_1\cdot\pmb{S}_1=\rho_2\pmb{v}_2\cdot\pmb{S}_2
外力$ \pmb{F}の内訳
体積力
重力$ \int_V\rho\pmb{g}\mathrm{d}V
非圧縮性流れなら$ \rho_1\pmb{g}Vになる
表面力
圧力$ \int_{\partial V}p\mathrm{d}\pmb{S}=:\underbrace{p_1\pmb{S}_1-p_2\pmb{S}_2}_{断面への圧力}+\underbrace{\pmb{F}_p}_{側面への圧力}
断面2にかかる圧力の向きは、$ \pmb{S}_2の逆になる
摩擦力(剪断応力)$ -\pmb{F}_{f}
流束vectorに対して逆向きに働く
まあ$ \pmb{F}_fにマイナスを入れれば同じことだから、あえてマイナスを付けなくてもいいっちゃいいのだが
$ \therefore \pmb{F}=\int_V\rho\pmb{g}\mathrm{d}V+p_1\pmb{S}_1-p_2\pmb{S}_2+\pmb{F}_p-\pmb{F}_{f}
$ \underline{\therefore (\rho_1\pmb{v}_1\cdot\pmb{S}_1)(\pmb{v}_2-\pmb{v}_1)=\int_V\rho\pmb{g}\mathrm{d}V+p_1\pmb{S}_1-p_2\pmb{S}_2+\pmb{F}_p-\pmb{F}_{f}\quad}_\blacksquare
非圧縮流れなら$ Q:=\pmb{v}_1\cdot\pmb{S}_1として$ \rho_1Q(\pmb{v}_2-\pmb{v}_1)=\rho_1\pmb{g}V+p_1\pmb{S}_1-p_2\pmb{S}_2+\pmb{F}_p-\pmb{F}_{f}と書ける
あれ？動画だと$ \pmb{F}_pにマイナスがついてる？
動画のほうが誤りだろこれ
一つ前のスライドの式と矛盾する
次やる時確認するか
動画コメントで訂正が入っていた
重力加速度vector$ \pmb{g}にマイナスを入れてあるので、動画と符号が異なる
これは問題ない
$ \therefore \rho Q\pmb{v}_1+A\pmb{p}_1=\rho Q\pmb{v}_2+A\pmb{p}_2+\pmb{S}_p+\pmb{S}_f+\rho \pmb{g}V
物質表示による方法
やり方がイマイチよくわからなかった
照らし合わせて記号を整理したい