流体の運動量保存則（レベル２）②：流体による推進力を学ぼう！

https://www.youtube.com/watch?v=72B-zmsactE

内容

変数設定

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$ h_0:=\eta(0)

条件

非粘性流れ

$ A\gg a

$ \frac{\partial v}{\partial t}\approx0

まとめて①とする

式の組み立て

水面から小孔への流線について、水面と小孔とでエネルギー保存則を立てる

水槽全体を検査領域として、

連続の式を立てる

$ \tag{3}A\mathrm{d}\eta+C_cav\mathrm{d}t=0

水面と小孔に対して運動量保存則を立てる

$ \tag{4}(\rho A\eta^2+0)(-\pmb{e}_y)+(-\pmb{F}')=(\rho C_ca v^2+0)\pmb{e}_x

両地点とも外気に接しているので、guage圧は0となる

式展開

②と(3)を組んで求める

$ ②\land(3)\implies\sqrt{2g(\eta-h_1)}\mathrm{d}t=-\frac{A}{C_ca}\mathrm{d}\eta

$ \iff\sqrt{2g(\eta-h_1)}\mathrm{d}t=-\frac{A}{C_ca}\mathrm{d}(\eta-h_1)

ここでは略す

詳しくは↑のリンクを参照

$ \iff\mathrm{d}t=-\frac{A}{C_ca}\sqrt{\frac{2}{g}}\mathrm{d}\left(\sqrt{\eta-h_1}\right)

$ \implies t-0=-\frac{A}{C_ca}\sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{\eta-h_1}-\sqrt{h_0-h_1}\right)

$ \iff \sqrt{\eta-h_1}=\sqrt{h_0-h_1}-\frac{C_ca}{A}\sqrt{\frac{g}{2}}t

$ \tag{5}\underline{\iff \eta=\left(\sqrt{h_0-h_1}-\frac{C_ca}{A}\sqrt{\frac{g}{2}}t\right)^2+h_1\quad}

$ (4)\land(5)\implies\pmb{F}'=-\rho C_ca v^2\pmb{e}_x-\rho A\eta^2\pmb{e}_y

$ =-\rho C_ca2g(\eta-h_1)\pmb{e}_x-\rho A\eta^2\pmb{e}_y

y方向はどうせ動かないので無視して、x方向だけ考える

$ F'_x:=\pmb{F}'\cdot\pmb{e}_x

$ =-2\rho C_cag(\eta-h_1)

$ \underline{=-2\rho C_cag\left(\sqrt{h_0-h_1}-\frac{C_ca}{A}\sqrt{\frac{g}{2}}t\right)^2\quad}_\blacksquare \tag{6}

動画の説明の立式ミスってる

質量が時間変化するから、微分演算子中に含めないといけない

$ \mathrm{d}((M+\rho A\eta)\dot{\pmb{X})}=\pmb{F}'\mathrm{d}t

あー、非線型微分方程式になるから、あえて質量微分の項を無視した、ということだろうか？

解けるかどうかはペンタブで計算するしかないな

2022-06-20 18:03:40 無理そう

これを解くのは無理だろう

https://kakeru.app/6dd9708e3916155d9480ff2dc6eb0a26 https://i.kakeru.app/6dd9708e3916155d9480ff2dc6eb0a26.svg

質量微分項を無視して展開してみる

$ \ddot{\pmb{X}}=\frac1{M+\rho A\eta}F_x'\pmb{e}_x=-\frac{2\rho C_cag}{M+\rho A\eta}\left(\sqrt{h_0-h_1}-\frac{C_ca}{A}\sqrt{\frac{g}{2}}t\right)^2\pmb{e}_x

(6)を代入した

$ \ddot{\pmb{X}}\simeq-\frac{2\rho C_cag}{M+\rho Ah_0}(h_0-h_1)\pmb{e}_x

$ \underline{\therefore \pmb{X}\simeq-\frac{\rho gC_ca}{M+\rho Ah_0}(h_0-h_1)t^2\pmb{e}_x\quad}_\blacksquare

ここではあえて近似せずにやってみる

定数がたくさんついてて書くのが面倒なので、シンプルにした類題を先に解き、その形を使って元の式を変形してみる

$ \ddot{g}=a(b-ct)^2

$ \iff \dot{g}=-\frac{a}{3c}(b-ct)^3+\dot{g}(0)

$ \iff g=\frac{a}{12c^2}(b-ct)^4+\dot{g}(0)t+g(0)

$ \xcancel{\therefore \pmb{X}=-\frac{2\rho C_cag}{12(M+\rho A\eta)}\frac{C_ca}{A_1}\sqrt{\frac{g}{2}}\left(\sqrt{h_0-h_1}-\frac{C_ca}{A_1}\sqrt{\frac{g}{2}}t\right)^2\pmb{e}_x}

次のモデルが解ければいける

$ \ddot{g}=\frac{a}{b+ct^2}t^2

部分分数分解すれば一階微分にまでは戻せる

$ \ddot{g}=\frac{a}{b+ct^2}t^2=\frac{\frac{a}{c}(b+ct^2)-\frac{ab}{c}}{b+ct^2}=\frac{a}{c}-\frac{a}{c}\frac{b}{b+ct^2}

まあこれも解けなくはないが……