水槽の穴からの非定常排水

Torricelliの定理とはちがうのか？

あー、非定常流れを考えるのか。

微小時間なら定常流れとみなせると考えて、Bernoulliの定理を適用している

でもこれ、非定常流れにおけるBernoulliの定理を使えば一発なのでは？

モデル定義してみよう

https://kakeru.app/39732acfe2503ad8fd46fdda00c7db9d https://i.kakeru.app/39732acfe2503ad8fd46fdda00c7db9d.svg

あっだめだ

非定常項$ \int_{1\to2}\frac{\partial v}{\partial t}\mathrm{d}sを求める条件が足りないのか…

『明解水理学』だと、$ A_1\gg A_2から$ \frac{\partial v}{\partial t}\approx0だとしてTorricelliの定理を適用している

でも水面での流速が$ \eta(t)に依存するから、明らかに非定常流れじゃん

定常だとしていい根拠がわからん

微小時間なら$ \frac{\partial v}{\partial t}\approx0としていいなら、完全流体ならなんでもBernoulliの定理使えることになってしまうぞ

非定常流れにおけるBernoulliの定理の使いどころが消えてしまう

そもそも微小時間で$ \frac{\partial v}{\partial t}\approx0としていい条件ってなに？

$ A_1\gg A_2\implies \frac{\partial v}{\partial t}\approx0の導出を知りたいtakker.icon*2

根　拠　な　か　っ　た

うそでしょtakker.icon

ええ……

仮定しないと解けないから仮定している

またこのパターンかよtakker.icon

いやまあ気持ちはわかるけど……

まあこの近似を仮定しても実用上は問題ないらしいからいいのか……

実験式として強引に納得すればいいか

近似が使える$ \frac{A_1}{A_2}と流速の条件までは知らないとのこと

論文とかでてるかな……takker.icon

こういうものの情報の調べ方を知りたい

導出

もし$ \frac{\partial v}{\partial t}\mathrm{d}t\ll\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac12v^2+gz+\frac{P}{\rho}\right)\mathrm{d}t($ sは流線方向の座標)ならば、

あくまでBernoulli函数$ \frac12v^2+gz+\frac{P}{\rho}の勾配と比較して非常に小さいとしているだけで、絶対値として無視できるほど小さいわけではない

とすれば納得いきそうtakker.icon

実際に小さいのかどうか検証する必要はある

$ v(\eta(0))=\dot{\eta}=-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2gt

$ \therefore \frac{\partial v(\eta(0))}{\partial t}\mathrm{d}t=-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2g\mathrm{d}t

これいうほど小さいか？

これよりも$ \frac12v^2のほうがorder小さいだろ

微小流線$ \mathrm{d}sは、$ \mathrm{d}s=v(s,t)\mathrm{d}tでいいのか？

$ \frac12\left(\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}\right)^2\mathrm{d}t+g\eta\mathrm{d}t+0\approx0+\frac12{v_2}^2\mathrm{d}t+0+0

これはTorricelliの定理の導出で用いたエネルギー収支の式と全く同じ

これと連続式$ A_1\mathrm{d}\eta+A_2v_2\mathrm{d}t=0(流入+流出=0)を組んで

$ g\eta\mathrm{d}t\approx-\frac12\left(1+\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2\right)\left(\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}\right)^2\mathrm{d}t\approx-\frac12\left(\frac{A_1}{A_2}\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}\right)^2\mathrm{d}t

$ \because \frac{A_1}{A_2}\gg1

$ \iff \sqrt{2g\eta}\mathrm{d}t\approx-\frac{A_1}{A_2}\mathrm{d}\eta

$ \iff \frac{A_2}{A_1}\sqrt{2g}\mathrm{d}t\approx-\eta^{-\frac12}\mathrm{d}\eta=-2\mathrm{d}\left(\eta^{\frac12}\right)

$ \iff \mathrm{d}t\approx\mathrm{d}\left(-\frac{A_1}{A_2}\sqrt{\frac{2}{g}\eta}\right)

よって、水位が$ \eta(0)から$ \eta(T)に下がるまでにかかる時間$ Tは

$ \underline{T=\frac{A_1}{A_2}\sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{\eta(0)}-\sqrt{\eta(T)}\right)\quad}_\blacksquare

orificeが広ければ広いほど早く流れる

口が大きければたくさん出てくる。定性的にもこの式で問題なさそうtakker.icon

#2022-05-31 10:45:16

#2022-05-30 13:52:09