Torricelliの定理の導出

水槽の側面下部に空いた穴から流れ出る流体の流速についての定理

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$ S_A\gg S_B\land h=\rm Const.かつAとBの大気圧がほぼ同じとき、以下が成立する

$ \frac12{u_B}^2=gh

$ hは常に一定になるように流体を流入させておく

$ S_Bのほうの穴をorificeと呼ぶ

Bernoulliの定理を使って導出する

AからBへの流線上で、Bernoulliの定理によるエネルギー収支の式を立てる

$ \frac12\rho{u_A}^2+\rho gz_A+P_0=\frac12\rho{u_B}^2+\rho gz_B+P_0

$ P_0: 大気圧

$ \iff \frac12{u_B}^2\left(1-\left(\frac{u_A}{u_B}\right)^2\right)=g(z_A-z_B)\quad①

さらに連続の式より

$ u_AS_A=u_BS_B

$ \implies \frac{u_A}{u_B}=\frac{S_B}{S_A}\approx0\quad②

2式を組むと

$ ①\land②\implies \frac12{u_B}^2\approx g(z_A-z_B)

高低差が$ h=\rm Const.なので

$ \underline{\therefore |u_B|\approx\sqrt{2gh}\quad}_\blacksquare

なんかすっごい当たり前のことしかいっていないようなtakker.icon

あ、でも$ u_A=0でなくても、$ u_A=0としたときの式(位置エネルギーが全て速度に変換されたときの式)と等しくなるのは当たり前じゃないか

これはちょっと面白いかも