正規Hausdorff空間は正則空間

証明

$ \implies\begin{dcases}\forall A,B\in\mathcal C:A\cap B=\varnothing\implies\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}A\subseteq U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}\\\forall x\in X:\{x\}\in\mathcal C\end{dcases}

$ \implies\forall a\in X\forall B\in\mathcal C:

$ a\notin B

$ \iff\{a\}\cap B=\varnothing\land\{a\}\in\mathcal C

$ \implies\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}\{a\}\subseteq U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}

$ \iff\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}