Hausdorff空間の単元集合は閉集合

証明

Hausdorff空間$ (X,\mathcal O)にて$ \forall x\in X:\{x\}\in\mathcal Cとなることを示せばいい

$ \forall x\in2^X:

$ \forall y:

$ y\in X\setminus\{x\}

$ \iff y\in X\land x\neq y

$ \iff\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in U\\y\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}

$ U\cap V=\varnothingだから$ x\neq yを復元できる

$ \implies\exist V\in\mathcal O:\begin{dcases}y\in V\\\{x\}\cap V=\varnothing\end{dcases}

$ \implies\exist V\in\mathcal O:y\in V\subseteq X\setminus\{x\}

$ \because\{x\}\cap V=\varnothing\implies V\subseteq X\setminus \{x\}

$ \iff y\in(X\setminus\{x\})^\circ

$ \implies X\setminus\{x\}=(X\setminus\{x\})^\circ

$ \iff X\setminus\{x\}\in\mathcal O

$ \underline{\iff\{x\}\in\mathcal C\quad}_\blacksquare