条件付き確率と独立性の関係

条件付き確率と独立性の関係

任意の確率空間$ (\Omega,\mathcal F,P)にて、$ \forall A,B\in\mathcal F:P(B)>0\land Aと$ Bが独立$ \implies P(A|B)=P(A)

証明$ \forall A,B\in\mathcal F:

$ P(B)>0\land Aと$ Bが独立

$ \iff P(B)>0\land P(A\cap B)=P(A)P(B)

$ \implies P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

$ =\frac{P(A)P(B)}{P(B)}

$ =P(A)

$ \underline{\therefore\forall A,B\in\mathcal F:P(B)>0\land A\text{と}B\text{が独立}\implies P(A|B)=P(A)\quad}_\blacksquare