曲げmomentと曲率の関係

$ \frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}

初等梁のたわみの微分方程式に$ \frac1\rho=v''を代入しただけ

曲率半径の定義から考えると、↑の式はあやまりだが、微小変形においてはただしい

曲線$ (x,f(x))の曲率を$ \frac1Rとすると、

$ \frac1R=\frac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^2)^\frac32}

なので、

$ \frac1\rho=\frac{|v''|}{(1+(v')^2)^\frac32}

が正しい

近似の正当性

たわみ角を$ \thetaとすると$ v'=\tan\theta

ここでは微小変形理論を仮定しているので$ v'=\tan\theta\approx\theta\ll 1

よって$ v'\ll1

$ \therefore\frac1\rho=\frac{|v''|}{(1+(v')^2)^\frac32}\approx|v''|

曲率は符号がないので、これだけだと不十分

符号に関して取り決めをする必要あり