擬順序
定義
(反射律)$ \forall a\in X:a\lesssim a (推移律)$ \forall a,b,c\in X:a\lesssim b\land b\lesssim c\implies a\lesssim c $ a\sim b:\iff a\lesssim b\land b\lesssim cは同値関係になる
順序同値とでも言っておこうかtakker.icon 半順序以上なら、反対称律が成り立つため当然$ a\sim b\iff a=bになる $ a\lneq b:\iff a\lesssim b\land a\neq bとしても、$ a\lesssim b\iff a\lneq b\lor a= bが成立しない
このへんの説明あやしいtakker.icon
混乱を避けるため、擬順序では$ \leではなく$ \lesssimなど、等号ではないことを暗示する記号を使うのが無難 狭義擬順序を$ a\lneq b:\iff a\lesssim b\land a\neq bとしたときの性質 非反射律$ \forall a\in X:\lnot(a\lneq a) 疑似的な推移律$ \forall a,b,c\in X:a\lneq b\lneq c\implies a\lesssim c
$ \begin{dcases}\forall a,b\in X:a\lesssim b\iff a\lneq b\lor a=b\\\lneq\text{は狭義擬順序}\end{dcases}\iff\begin{dcases}\forall a,b\in X:a\lneq b\iff a\lesssim b\land a\neq b\\\lesssim\text{は擬順序}\end{dcases}
が成立する
狭義擬順序を$ a< b:\iff a\lesssim b\land a\nsim b\iff a\lesssim b\land\lnot(b\lesssim a)としたときの性質 非反射律$ \forall a\in X:\lnot(a< a) 推移律$ \forall a,b,c\in X:a< b< c\implies a< c
多分$ \begin{dcases}\forall a,b\in X:a\lesssim b\iff a<b\lor b\sim a\\\forall a\in X:\lnot(a<a)\end{dcases}\iff(\forall a,b\in X:a<b\iff a\lesssim b\land a\nsim b)が成り立つ
$ a\sim b\iff a\lesssim b\land b\lesssim aだからこの$ \lesssimの定義はまずいか
例
$ \forall A,B\in2^Xにて$ A\lesssim B:\iff\exist f:A\to Bとすると、$ \lesssimは$ X上の擬順序となる References