拡張平均値定理

$ \forall a\in\R\forall b\in\R_{>a}\forall f,g:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}f,g\text{は連続}\\f,g\text{は}\rbrack a,b\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}\implies\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:(g(b)-g(a))f'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)

$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}

と表せる

証明

$ \forall a\in\R\forall b\in\R_{>a}\forall f,g:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}f,g\text{は連続}\\f,g\text{は}\rbrack a,b\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}

$ \implies\exist h:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}h:x\mapsto(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)\\h(a)=(g(b)-g(a))f(a)-(f(b)-f(a))g(a)=h(b)\\h\text{は連続}\\h\text{は}\rbrack a,b\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}

$ \implies\exist h:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}h:x\mapsto(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)\\\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:h'(c)=0\end{dcases}

$ \iff\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)=0

$ \underline{\iff\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:(g(b)-g(a))f'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)\quad}_\blacksquare

Reference