平均値の定理

$ \forall a\in\R\forall b\in\R_{>a}\forall f:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}f\text{は連続}\\f\text{は}\rbrack a,b\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}\implies\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)

差分表示にしたもの

$ \forall x\in\R\forall \Delta x\in\R_+\forall f:[x,x+\Delta x]\to\R:

$ \begin{dcases}f\text{は連続}\\f\text{は}\rbrack x,x+\Delta x\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}\implies\exist c\in\rbrack x,x+\varDelta x\lbrack:f(x+\Delta x)=f(x)+f'(c)\Delta x

証明

$ \forall a\in\R\forall b\in\R_{>a}\forall f:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}f,g\text{は連続}\\f,g\text{は}\rbrack a,b\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}

$ \implies\exist h:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}h:x\mapsto f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\\h(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a=h(b)\\h\text{は連続}\\h\text{は}\rbrack a,b\lbrack\text{で微分可能}\end{dcases}

$ \implies\exist h:[a,b]\to\R:

$ \begin{dcases}h:x\mapsto f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\\\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:h'(c)=0\end{dcases}

$ \iff\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

$ \underline{\iff\exist c\in\rbrack a,b\lbrack:f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)\quad}_\blacksquare