定数函数をFourier逆変換するとdelta函数になる

まず愚直に$ {\cal F}^{-1}(\omega\mapsto1)を計算してみる

$ {\cal F}^{-1}(\omega\mapsto1)(t)=\frac1{2\pi}\int_\R e^{i\omega t}\mathrm d\omega

$ =\frac 1{2\pi}\left[\frac{1}{it}e^{i\omega t}\right]_{-\infty}^\infty

これは有限な値を持たず、計算不能

計算できるようにするには、Diracのdelta函数を導入して無限を取り扱う必要がある

これを厳密に解く時間がないので、ざっくりやる

収束判定まわりがいいかげん

かなり長い時間をかけて理解する必要がある

$ \hat\delta_\varepsilon:\omega\mapsto e^{-\varepsilon\omega^2}\quad(\varepsilon>0)だとして、これをFourier逆変換する

$ \delta_\varepsilon(t)=\frac{1}{2\pi}\int_\R e^{-\varepsilon\omega^2+i\omega t}\mathrm d\omega

$ = \frac{1}{2\pi}\int_\R e^{-\varepsilon\omega^2+i\omega t}\mathrm d\omega

$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}e^{-\frac{t^2}{4\varepsilon}}

普通に導出方法が分からなかったまずいtakker.icon

導出

$ \frac{1}{2\pi}\int_\R e^{-\varepsilon\omega^2+i\omega t}\mathrm d\omega

$ = \frac{1}{2\pi}\int_\R e^{-\varepsilon\left(\omega-\frac{it}{2\varepsilon}\right)^2-\frac{t^2}{4\varepsilon}}\mathrm d\omega

$ = \frac1{2\pi}e^{-\frac{t^2}{4\varepsilon}}\int_\R e^{-\varepsilon\left(\omega-\frac{it}{2\varepsilon}\right)^2}\mathrm d\omega

$ = \frac1{2\pi}e^{-\frac{t^2}{4\varepsilon}}\int_\R e^{-\varepsilon\omega^2}\mathrm d\omega

$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}e^{-\frac{t^2}{4\varepsilon}}

✅Gauss函数のFourier変換を後でまとめとかないと

まとめた

$ \therefore \delta_\varepsilon(t)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}e^{-\frac{t^2}{4\varepsilon}}

TODO:グラフ書く

もし$ \varepsilon\to0にすると、Diracのdelta函数になるはず

次に、積分する

$ \int_\R\delta_\varepsilon(t)\mathrm dt=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\sqrt{4\varepsilon\pi}={\Large\textcolor{orange}1}

1になっちゃった！！takker.icon

1の周りに集中線を入れたい

これが任意の$ \varepsilonで成立するから

$ \color{orange}\int_\R\delta(t)\mathrm dt=1

ここ収束条件の検討を端折ってる

幅0で高さ無限大の長方形の面積が1になるということ

分布荷重だと無限大だが、集中荷重だと1