Gauss函数のFourier変換

Gauss函数$ f(t)=e^{-at^2}\quad(a>0)のFourier変換

$ \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_Re^{-at^2}e^{-i\omega t}\mathrm dt=\frac1{\sqrt{2a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}

$ \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_Re^{-a\omega^2}e^{i\omega t}\mathrm dt=\frac1{\sqrt{2a}}e^{-\frac{t^2}{4a}}

Unitary表示したFourier変換を使うと

$ \mathcal F(e^{-\frac12\bullet^2})=e^{-\frac12\bullet^2}

$ \mathcal F^{-1}(e^{-\frac12\bullet^2})=e^{-\frac12\bullet^2}

つまり、$ t\mapsto e^{-\frac12t^2}はFourier変換に対して不変となる

導出

$ {\cal F}(f)(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_Re^{-at^2}e^{-i\omega t}\mathrm dt

$ =\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_\R e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^2-\frac{\omega^2}{4a}}\mathrm dt

$ =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}\int_\R e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm dt

$ =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}\int_\R e^{-at^2}\mathrm dt

ここの置換積分は、議論が必要

複素数のshiftをしてもいいのか？

$ =\frac1{\sqrt{2a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}

$ {\cal F}^{-1}(f)(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_Re^{-a\omega^2}e^{i\omega t}\mathrm d\omega

$ =\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_\R e^{-a\left(\omega+\frac{it}{2a}\right)^2-\frac{t^2}{4a}}\mathrm d\omega

$ =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{4a}}\int_\R e^{-a\left(\omega+\frac{it}{2a}\right)^2}\mathrm d\omega

$ =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{4a}}\int_\R e^{-a\omega^2}\mathrm d\omega

$ =\frac1{\sqrt{2a}}\sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{t^2}{4a}}