Gauss函数のFourier変換

$ \int_Re^{-at^2}e^{-i\omega t}\mathrm dt=\sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}

$ \int_Re^{-a\omega^2}e^{i\omega t}\mathrm dt=\sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{t^2}{4a}}

導出

$ {\cal F}(f)(\omega)=\int_Re^{-at^2}e^{-i\omega t}\mathrm dt

$ =\int_\R e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^2-\frac{\omega^2}{4a}}\mathrm dt

$ =e^{-\frac{\omega^2}{4a}}\int_\R e^{-a\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm dt

$ =e^{-\frac{\omega^2}{4a}}\int_\R e^{-at^2}\mathrm dt

ここの置換積分は、議論が必要

複素数のshiftをしてもいいのか？

$ = \sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}

$ {\cal F}^{-1}(f)(t)=\frac1{2\pi}\int_Re^{-a\omega^2}e^{i\omega t}\mathrm d\omega

$ =\frac1{2\pi}\int_\R e^{-a\left(\omega+\frac{it}{2a}\right)^2-\frac{t^2}{4a}}\mathrm d\omega

$ =\frac1{2\pi}e^{-\frac{t^2}{4a}}\int_\R e^{-a\left(\omega+\frac{it}{2a}\right)^2}\mathrm d\omega

$ =\frac1{2\pi}e^{-\frac{t^2}{4a}}\int_\R e^{-a\omega^2}\mathrm d\omega

$ =\frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{t^2}{4a}}

もとに戻ることの証明

$ {\cal F}^{-1}({\cal F}(f))(t)=\sqrt{\frac\pi a}{\cal F}(\omega\mapsto e^{-\frac{\omega^2}{4a}})(t)

$ =\sqrt{\frac\pi a}\frac1{2\pi}\sqrt{4a\pi}e^{-\frac{4at^2}{4}}

$ = e^{-at^2}