完全流体の運動方程式を物質表示で導出する

一から導出する

空間表示された完全流体の運動方程式から物質表示に直す

運動を$ \bm\phi(\bm X,t)、流速の空間表示を$ \bm v(\bm x,t)、密度の空間表示を$ \rho、物体力の空間表示を$ \bm f、圧力の空間表示を$ Pとする

物質表示した物理量として、$ \tilde\rho:=\rho(\bm\phi(\bm X,t),t),\tilde{\bm f}:=\bm f(\bm\phi(\bm X,t),t),\tilde P:=P(\bm\phi(\bm X,t),t)を用意する

完全流体の運動方程式より

$ \rho\frac{\mathrm{D}\bm{v}}{\mathrm{D}t}=\bm{f}-\bm{\nabla}P

$ \bm x=\bm\phi(\bm X,t)を代入して展開する

$ \implies\rho(\bm\phi(\bm X,t),t)\frac{\partial\bm{v}(\bm\phi(\bm X,t),t)}{\partial t}=\bm{f}(\bm\phi(\bm X,t),t)-\left.\bm{\nabla}P\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ \iff\tilde\rho\frac{\partial^2\bm\phi}{{\partial t}^2}=\tilde{\bm{f}}-\left.\left(\left.\bm\nabla\tilde P\right|_{\bm X={\bm\phi}^{-1}(\bm x,t)}\cdot{\bm\phi}^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}\right)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ =\tilde{\bm{f}}-\bm\nabla\tilde P\cdot\left.{\bm\phi}^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ =\tilde{\bm{f}}-\bm\nabla\tilde P\cdot{\bm F}^{-1}

$ \bm F:=\bm\phi\overleftarrow{\bm\nabla}は変形勾配tensor

$ \iff \tilde\rho\frac{\partial^2\bm\phi}{{\partial t}^2}\cdot\bm F=\tilde{\bm{f}}\cdot\bm F-\bm\nabla\tilde P

$ \underline{\iff \left(\tilde{\bm f}-\tilde\rho\frac{\partial^2\bm\phi}{{\partial t}^2}\right)\cdot\bm F=\bm\nabla\tilde P\quad}_\blacksquare

これが物質表示された完全流体の運動方程式である

この式は、『ラム流体力学1』の最初の方に、デカルト座標成分表示されたものが載っている

導出は略されていた

インターネット上だとFNの高校物理のこのページに二次元直交座標による導出が載っている

この参考文献から察するに、友近晋『流体力学』にも導出が載っていそう

Gibbs形式で記述した導出は、自分が知っている限り自分が導出したものしか知らないtakker.icon

#2023-07-03 11:57:27

#2022-06-21 08:58:30