土の限界状態モデル
限界状態での$ p',qの応力比$ \frac{q'}{p'}は常に土固有の定数$ \Muになる $ q_c=\Mu p_c'
$ f_n(p',q)=\chi(\eta)-\lambda\ln\frac{p'}{p_s'}
$ p'_s：適当な基準となる平均有効応力
たとえば$ p_s'=1.0\ \mathrm{kPa}など
$ \chi(\eta)：$ p'=p_s'のときの比体積
$ p',qではなく、その応力比$ \etaにのみ依存する $ f_n(p',0)=\Nu-\lambda\ln\frac{p'}{p_s'}
$ \Nu:=\chi(0)
土固有の材料定数
$ q=\Mu p'のときの曲線を限界状態線という $ f_n(p',\Mu p')=\Gamma-\lambda\ln\frac{p'}{p_s'}
$ \Gamma:=\chi(\Mu)
土固有の材料定数
ただし$ q\le\Mu p'とする
$ f_o(p',q,p_y')=f_n(p_y',q)-\kappa\ln\frac{p'}{p_y'}
$ f_o(p',q,p_y')が描く曲面を弾性壁という？ $ p'<p_y'のときこの曲面を自由に動く
$ p'=p_y'に達した後圧縮($ \mathrm dp'>0)させるとRosco面に移動する その後$ p'=p_a'>p_y'まで圧縮した後再び除荷($ \mathrm dp'<0)すると$ f_o(p',q,p_a')の弾性壁に移動して弾性挙動する 圧密状態の分類
$ q_0=0\land p_0'=p'=\rm const.での排水剪断 正規圧密粘土
初期状態：$ f_0=\Nu-\lambda\ln\frac{p_0'}{p_s'}
せん断過程：$ f=\chi\left(\frac q{p'}\right)-\lambda\ln\frac{p_0'}{p_s'}
限界状態：$ f_c=\Gamma-\lambda\ln\frac{p_0'}{p_s'}
平均有効応力一定だと第2項が常に同じになるから、初期状態の式より
$ f=\chi\left(\frac q{p_0'}\right)+f_0-\Nu
で載荷過程のすべての$ (f,q)を表せる
$ p'=\rm const.なので常にRosco面上にあり、塑性変形過程でもある 軽過圧密粘土
初期状態：$ f_0=f_n(p_y',0)-\kappa\ln\frac{p_0'}{p_y'}
せん断過程：$ f=f_n(p_y',q)-\kappa\ln\frac{p_0'}{p_y'}
限界状態：$ f_c=f_n(p_y',\Mu p_0')-\kappa\ln\frac{p_0'}{p_y'}
正規圧密粘土の時と同様に、載荷過程のすべての$ (f,q)を次式で表せる
$ f=f_0+f_n(p_y',q)-f_n(p_y',0)
$ =f_0+\chi\left(\frac{q}{p_y'}\right)-\lambda\ln\frac{p_y'}{p_s'}-\Nu+\lambda\ln\frac{p_y'}{p_s'}
$ =\chi\left(\frac{q}{p_y'}\right)+f_0-\Nu
あれ？てことは軽過圧密粘土の$ (f,q)はせん断開始時の$ p_0'に関わらず、圧密降伏応力$ p_y'だけで決定されるということ？takker.icon まじか
$ f_0の分だけ平行移動するが、曲線形は同じ
$ f_0と限界状態時の$ f,qだけ$ p_0'が関わる
$ q_c=\Mu p_0'
$ f_c=\chi\left(\Mu\frac{p_0'}{p_y'}\right)f_0-\Nu
超過圧密粘土
正規圧密粘土
$ f(p',q)=\chi(\eta)-\lambda\ln\frac{p'}{p_s'}=f(p_0',0)=\Nu-\lambda\ln\frac{p_0'}{p_s'}
$ \implies\chi(\eta)-\lambda\ln\frac{p'}{p_0'}=\Nu
$ \implies\chi\left(\frac{q}{p'}\right)-\lambda\ln\frac{p'}{p_0'}=\Nu
軽過圧密粘土
$ f=f_n(p_y',q)-\kappa\ln\frac{p'}{p_y'}=f_0=f_n(p_y',0)-\kappa\ln\frac{p_0'}{p_y'}
$ \implies f_n(p_y',q)-f_n(p_y',0)-\kappa\ln\frac{p'}{p_0'}=0
$ \iff\chi\left(\frac q{p_y'}\right)-\Nu-\kappa\ln\frac{p'}{p_0'}=0
$ \iff\chi\left(\frac q{p_y'}\right)-\kappa\ln\frac{p'}{p_0'}=\Nu
$ \chiが$ qのみの函数になるぶん、正規圧密粘土より$ q-p'関係が単純になる 超過圧密粘土
$ \chiのモデルを代入して$ q-p'関係を陽に示す
$ \chiのモデル
$ \chi(\eta)=\Nu+\frac{\Gamma-\Nu}{\Mu}\eta
素朴な線型補間
逆函数表現
$ \eta=\frac{\chi(\eta)-\Nu}{\Gamma-\Nu}\Mu
$ \chi(\eta)=\Nu+\frac{\Gamma-\Nu}{\ln2}\ln\frac{\Mu^2+\eta^2}{\Mu^2}
逆函数表現
$ \ln\frac{\Mu^2+\eta^2}{\Mu^2}=\frac{\chi(\eta)-\Nu}{\Gamma-\Nu}\ln2
$ \iff\frac{\Mu^2+\eta^2}{\Mu^2}=2^{\frac{\chi(\eta)-\Nu}{\Gamma-\Nu}}
$ \iff\eta^2=\left(2^{\frac{\chi(\eta)-\Nu}{\Gamma-\Nu}}-1\right)\Mu^2
$ \iff|\eta|=\Mu\sqrt{2^{\frac{\chi(\eta)-\Nu}{\Gamma-\Nu}}-1}
$ \mathrm d'\bm\varepsilon=\mathrm d\bm\varepsilon^e+\mathrm d'\bm\varepsilon^p
経路依存なので不完全微分$ \mathrm d'を使ってみたtakker.icon 経路
応力とひずみが一対一対応
関係は線型非線型問わない
除荷すれば元のひずみに回復する
塑性域では、外部から与えられたエネルギーが、物質そのものの構造を変化させる仕事に消費され、塑性ひずみとして物体に残留する 弾塑性モデルで成立すると仮定するのか、弾塑性モデルの別の仮定から導かれるのかは不明takker.icon $ \mathrm d\bm\varepsilon^p=\lambda\frac{\mathrm df}{\mathrm d\bm\sigma}
$ \lambda：正定数
命名由来は流体力学の連続式から？
有効応力による仕事
$ \mathrm dE=\sigma_1'\mathrm d\varepsilon_1+\sigma_2'\mathrm d\varepsilon_2+\sigma_3'\mathrm d\varepsilon_3
応力とひずみの主軸が一致していると仮定した
$ =\bm\sigma':\mathrm d\bm\varepsilon
$ = \left(\frac13({\rm tr}\bm\sigma')\bm I+{\cal\pmb D}:\bm\sigma'\right):\left(\frac13({\rm tr}\mathrm d\bm\varepsilon)\bm I+{\cal\pmb D}:\mathrm d\bm\varepsilon\right)
$ = \sigma_m'\mathrm d\varepsilon_V+({\cal\pmb D}:\bm\sigma'):({\cal\pmb D}:\mathrm d\bm\varepsilon)
$ \because\bm I:{\cal\pmb D}=\bm I-\frac{{\rm tr}\bm I}{{\rm tr}\bm I}\bm I=\bm 0
$ \sigma_m':=\frac13{\rm tr}\bm\sigma',\varepsilon_V={\rm tr}\bm\varepsilon
$ = \sigma_m'\mathrm d\varepsilon_V+\sigma_q\mathrm d\varepsilon_q
$ ({\cal\pmb D}:\bm\sigma'):({\cal\pmb D}:\mathrm d\bm\varepsilon)=\sigma_q\mathrm d\varepsilon_qを仮定
塑性域で消費されるエネルギー
$ \mathrm dE^p= \sigma_m'\mathrm d\varepsilon_V^p+\sigma_q\mathrm d\varepsilon_q^p
これが土粒子の摩擦によるエネルギーと等しいと仮定する
摩擦力を$ M\sigma_m'とする(動摩擦力の考えと同じ)と、 $ \mathrm dE^p=M\sigma_m'\mathrm d\varepsilon_q^p
$ \therefore \sigma_q=M\sigma_m'-\sigma_m'\frac{\mathrm d\varepsilon_V^p}{\mathrm d\varepsilon_q^p}
限界状態に至ったとき、$ \mathrm d\varepsilon_V^p=0だから、 $ \sigma_q=M\sigma_m'
実験事実より
$ e=\Gamma-\lambda\ln\sigma_m'
$ \Gamma,\lambda：土の強度定数
$ \lambdaは自然対数表示での圧縮指数である $ \lambdaは$ \frac q{p'}の関数
$ e=n\left(\frac q{p'}\right)