土の限界状態モデル
$ \mathrm d'\bm\varepsilon=\mathrm d\bm\varepsilon^e+\mathrm d'\bm\varepsilon^p
経路依存なので不完全微分$ \mathrm d'を使ってみたtakker.icon 経路
応力とひずみが一対一対応
関係は線型非線型問わない
除荷すれば元のひずみに回復する
塑性域では、外部から与えられたエネルギーが、物質そのものの構造を変化させる仕事に消費され、塑性ひずみとして物体に残留する 弾塑性モデルで成立すると仮定するのか、弾塑性モデルの別の仮定から導かれるのかは不明takker.icon $ \mathrm d\bm\varepsilon^p=\lambda\frac{\mathrm df}{\mathrm d\bm\sigma}
$ \lambda：正定数
命名由来は流体力学の連続式から？
有効応力による仕事
$ \mathrm dE=\sigma_1'\mathrm d\varepsilon_1+\sigma_2'\mathrm d\varepsilon_2+\sigma_3'\mathrm d\varepsilon_3
応力とひずみの主軸が一致していると仮定した
$ =\bm\sigma':\mathrm d\bm\varepsilon
$ = \left(\frac13({\rm tr}\bm\sigma')\bm I+{\cal\pmb D}:\bm\sigma'\right):\left(\frac13({\rm tr}\mathrm d\bm\varepsilon)\bm I+{\cal\pmb D}:\mathrm d\bm\varepsilon\right)
$ = \sigma_m'\mathrm d\varepsilon_V+({\cal\pmb D}:\bm\sigma'):({\cal\pmb D}:\mathrm d\bm\varepsilon)
$ \because\bm I:{\cal\pmb D}=\bm I-\frac{{\rm tr}\bm I}{{\rm tr}\bm I}\bm I=\bm 0
$ \sigma_m':=\frac13{\rm tr}\bm\sigma',\varepsilon_V={\rm tr}\bm\varepsilon
$ = \sigma_m'\mathrm d\varepsilon_V+\sigma_q\mathrm d\varepsilon_q
$ ({\cal\pmb D}:\bm\sigma'):({\cal\pmb D}:\mathrm d\bm\varepsilon)=\sigma_q\mathrm d\varepsilon_qを仮定
塑性域で消費されるエネルギー
$ \mathrm dE^p= \sigma_m'\mathrm d\varepsilon_V^p+\sigma_q\mathrm d\varepsilon_q^p
これが土粒子の摩擦によるエネルギーと等しいと仮定する
摩擦力を$ M\sigma_m'とする(動摩擦力の考えと同じ)と、 $ \mathrm dE^p=M\sigma_m'\mathrm d\varepsilon_q^p
$ \therefore \sigma_q=M\sigma_m'-\sigma_m'\frac{\mathrm d\varepsilon_V^p}{\mathrm d\varepsilon_q^p}
限界状態に至ったとき、$ \mathrm d\varepsilon_V^p=0だから、 $ \sigma_q=M\sigma_m'
実験事実より
$ e=\Gamma-\lambda\ln\sigma_m'
$ \Gamma,\lambda：土の強度定数
$ \lambdaは自然対数表示での圧縮指数である $ \lambdaは$ \frac q{p'}の関数
$ e=n\left(\frac q{p'}\right)