函数空間 - くたくたじゅうよん

函数空間

写像の集合$ V^Xに何らかの構造を入れた空間をよく「函数空間」と呼ぶ

/takkerでは線型空間の構造を入れた空間を函数空間と呼ぶことにする

任意の集合$ Xと$ \mathbf K-線型空間$ \mathbf Vについて、函数の集合$ V^Xに対して$ +,\cdotを定義する

$ \forall f,g:X\to V.f+g:X\ni x\mapsto f(x)+g(x)\in V

$ \forall f:X\to V\forall\alpha\in K.\alpha\cdot f:X\ni x\mapsto\alpha f(x)\in V

このとき$ (V^X,+)は可換体、$ ((V^X,+),\mathbf K,\cdot)は線型空間になる

$ \mathbf V^X:=((V^X,+),\mathbf K,\cdot)を「$ \bf K上の函数空間」と呼ぶ

$ Xには何の制約もない点に注意takker.icon