一様連続
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関数が一様連続とは，グラフを横に少しずらしたとき縦のずれも小さいこと．
任意の距離空間$ (X,d_X),(Y,d_Y)にて、一様連続な函数$ f:X\to Yとは以下を満たす函数のことである $ \forall\varepsilon>0\exist\delta>0\forall x_1,x_2\in X:d_X(x_1,x_2)<\delta\implies d_Y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon
開球体を用いた表現：$ \forall\varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in X:B_{X,\delta}(x)\subseteq f^\gets(B_{Y,\varepsilon}(f(x))) 距離空間による連続写像の定義は$ \forall x\in X\forall\varepsilon>0\exist\delta>0:B_{X,\delta}(x)\subseteq f^\gets(B_{Y,\varepsilon}(f(x)))で、$ \forall x\in Xの位置が違うことがわかる 任意の一様空間$ (X,\mathcal U_X),(Y,\mathcal U_Y)とその間の写像$ f:X\to Yにて、以下を満たす$ fを一様連続写像という $ \forall U_Y\in\mathcal U_Y\exist U_X\in\mathcal U_X\forall(x_1,x_2)\in U_X:(f(x_1),f(x_2))\in U_Y