ひっぺ剥がし函数
昔、函数を集合の記号だけで定義しようとしたときに考えた函数
$ \mathrm{unbox}A:=\bigcup A
記法は当時考えたものではなく、今改めて書き直したもの
当時のメモを探し出せないので、当時の記法は書き出せない
というか脳内だけで考えてたかも
単元集合$ \{a\}について以下が成立する
$ \mathrm{unbox}\{a\}=a
{}をひっぺ剥がしているようなイメージを持ったので、「ひっぺ剥がし函数」と名付けた
これを使えば、函数を集合のみで定義できる。
例
$ Aの最大値$ \max A
$ \max A:= \mathrm{unbox}\{a\in A|\forall x\in A;x\le a\}
最大値が存在する時$ \{a\in A|\forall x\in A;x\le a\}は単元集合になるので、それの{}を取り外せば取得したい最大値になる
勿論欠点がある
$ Aが2要素以上を含む集合だった時、$ \mathrm{unbox}Aが大変なことになる
$ 0\cup1\cup2\cup\cdotsのようなわけのわからない値になる
自然数を空集合から定義するアプローチのように、全ての数学的対象を集合だとみなせば計算できるが、意味のない値になることは間違いない 標準オブジェクトの内部実装を引きずり出してしまった感じ
$ \mathrm{unbox}\varnothing=\bigcup\varnothing=U
函数に定義外の値を入れるとこうなるかもしれない
函数の返り値が全体集合になってしまうのは非常にめんどくさい
さっき気づいたが、冪集合$ 2^Xとは逆函数の関係にある $ \mathrm{unbox}2^X=\bigcup2^X=X
$ \because \forall A\in 2^X;A\subseteq X
2021-11-02 18:29:16 ここの論理おかしいtakker.icon
この論理式では証明できない
あとで書き直そ
この性質に肖るなら、$ \log_2 Aみたいな記号にするのも面白いかも