U2X=X
$ \forall X;\bigcup2^X=X
「冪集合のすべての元の和を取ったら、元の集合と同じになるよね」という至極当たり前のことを述べている論理式 直感的には当たり前の式だけど、こういう式をちゃんと証明できることは大事だと思うtakker.icon
証明
$ \forall X\forall aについて
$ a\in\bigcup2^X
$ \iff \exists A\in2^X;a\in A
$ \iff\exists A\subseteq X;a\in A
$ \iff\exists A;a\in A\subseteq X
$ \iff a\in X
$ \because
(Left)$ \exists A;a\in A\subseteq X\implies a\in X
(Right)$ a\in X\iff a\in X\subseteq X\implies\exists A;a\in A\subseteq X
$ \therefore \forall a;\left(a\in\bigcup2^X\iff a\in X\right)
$ \underline{\therefore \bigcup2^X=X}_{\quad\blacksquare}