filter場 - くたくたじゅうよん

filter場

$ \forall Xにて、以下を満たす$ \mathcal F:X\to 2^Xをfilter場と呼ぶ

(N1)$ \forall x\in X:\mathcal F(x)\neq\varnothing∀x∈X(𝒩(x)≠∅)

∀X,ℱ(ℱ∩2^X≠∅⇔X∈⟨ℱ⟩X)だから$ \forall x\in X:X\in\mathcal F(x)と替えても同値

(N2)$ \forall x\in X\forall F\in\mathcal F(x):x\in F∀x∈X∀N∈𝒩(x)(x∈N)

$ \forall x\in X:x\in\bigcap\mathcal F(x)としてもいい

$ \forall x\in X:\mathcal F(x)\subseteq\lang\{\{x\}\}\rang_Xのほうが本質的かもtakker.icon

$ \lang\{\{x\}\}\rang_X：点filter

(N3a)$ \forall x\in X\forall F_1,F_2\in\mathcal F(x):F_1\cap F_2\in\lang\mathcal F(x)\rang_X∀x∈X∀N1,N2∈𝒩(x)(N1∩N2∈⟨𝒩(x)⟩X)

(N3b)$ \forall x\in X:\lang\mathcal F(x)\rang_X\subseteq\mathcal F(x)∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

同値な定義

(N1) 同上

(N2) 同上

(N3) $ \forall x\in X\forall F_1,F_2:(F_1,F_2\in\mathcal F(x)\iff F_1\cap F_2\in F(x))

(N2)より$ \forall x\in X:\varnothing\notin\mathcal F(x)であるため、$ \mathcal F(x)はfilter (数学)である

各点$ xごとにfilter (数学)を定めるため、「フィルター場」と呼ばれる

そのため、擬近傍系と読んでもいいかもしれない