SoM2-2022S-9
目標
9.土圧 クーロン土圧論を用いた主働土圧・受働土圧の求め方を説明できるようになる。
内容
前回の復習
まあここは書かなくていいだろうtakker.icon
$ \sigma_{ha}=K_a\gamma_tz-2c\sqrt{K_a}を使っているとトラップにはまる
一般には$ \sigma_{ha}=K_a\sigma_v-2c\sqrt{K_a}であり、その深さでの$ \sigma_vを使わないといけない
入れても煩雑になるので割愛
これ載っているテキストはまだ見つけられてないtakker.icon
擁壁や地表面が傾いている場合にも土圧を求められる汎用モデル
下の逆三角形の茶色斜線領域
https://kakeru.app/3440da0e6e33232680d650a6b5948a69 https://i.kakeru.app/3440da0e6e33232680d650a6b5948a69.svg
擁壁にかかる単位幅あたりの主働全土圧$ \pmb{Q_a}を求める
$ \pmb{Q_a}+\pmb{W}+\pmb{R}=\pmb{0}が成立する
$ \pmb{W}：土くさびの自重
$ \pmb{R}：土くさびの下部土領域からの反力
https://kakeru.app/085c306334d6a742a454b3ff33baad59 https://i.kakeru.app/085c306334d6a742a454b3ff33baad59.svg
摩擦角etc.を導入する
与えられる変数
$ \alpha：擁壁傾斜角
$ \argmax_\theta|\pmb{Q_a}|を選べばいい
$ \pmb{e}_\bullet:=\pmb{e}_x\cos\bullet+\pmb{e}_z\sin\bullet
zは上向きを正にとる
https://kakeru.app/df0e3881fa0a5d989d8ae8305a798b7c https://i.kakeru.app/df0e3881fa0a5d989d8ae8305a798b7c.svg
それぞれのvectorを角度表示するとこんな感じ
$ \pmb{Q_a}=|\pmb{Q_a}|\pmb{e}_{\delta+\alpha-\frac12\pi}
https://kakeru.app/56cbfb0a9b66f8e0c45b0e982c657924 https://i.kakeru.app/56cbfb0a9b66f8e0c45b0e982c657924.svg
$ \pmb{W}=|\pmb{W}|\pmb{e}_z
$ \pmb{R}=|\pmb{R}|\pmb{e}_{\frac12\pi+\theta-\phi}
https://kakeru.app/5a83abb5eaa17bd45c5b48eb1108d0db https://i.kakeru.app/5a83abb5eaa17bd45c5b48eb1108d0db.svg
$ \pmb{Q}_a=|\pmb{W}|\pmb{e}_z-|\pmb{R}|\pmb{e}_{\frac12\pi+\theta-\phi}
これ立式がめちゃくちゃめんどくさいな……
$ |\pmb{W}|を求める
https://kakeru.app/493f977b5f8c5c7e9c6f30770979180f https://i.kakeru.app/493f977b5f8c5c7e9c6f30770979180f.svg
ここ間違えているようだ
直した
図がややこしくて、直角でないところを直角だと間違えてしまった
https://kakeru.app/03617eacecf8e7bf011a663ecf69f969 https://i.kakeru.app/03617eacecf8e7bf011a663ecf69f969.svg
$ |\pmb{W}|=\frac12\gamma_tH^2\frac{\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha-\theta)}{(\sin\alpha)^2\sin(\theta-\beta)}
$ |\pmb{R}|を求める
どう求めろと……
すべり面上の応力を積分するのか？
$ |\pmb{R}|は求めなくていい。幾何学的関係から$ |\pmb{W}|\mapsto|\pmb{Q_a}|を求められる
https://kakeru.app/72bc3b11df5643517fec33f70711f03f https://i.kakeru.app/72bc3b11df5643517fec33f70711f03f.svg
以上より、$ \thetaを含む$ Q_aの式がこう求まる
$ |\pmb{Q_a}|=\frac12\gamma_tH^2\frac{\sin(\alpha-\beta)}{(\sin\alpha)^2}\frac{\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)}{\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)}
ここまであってるtakker.icon
これを微分しなくちゃいけないのか……めんどくさすぎる
$ (\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi))'=-\cos(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)+\sin(\alpha-\theta)\cos(\theta-\phi)
$ = \sin(\alpha-\theta-\theta+\phi)
$ =\sin(\alpha-\theta-(\theta-\phi))
$ (\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi))'=\cos(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)-\sin(\theta-\beta)\cos(\alpha-\theta+\delta+\phi)
$ =\sin(\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi)
$ \left(\frac{\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)}{\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)}\right)'
$ =\frac{\sin(\alpha-\theta-(\theta-\phi))\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)-\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)\sin(\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi)}{(\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi))^2}
ねえこれほんとにあってるの……？
$ \frac{\partial|\pmb{Q_a}|}{\partial\theta}=0がむちゃくちゃ複雑な式になるぞ
いや、$ \frac{\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)}{\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)}を$ \thetaを含まない式で書き直せばいいのか
$ \frac{\partial|\pmb{Q_a}|}{\partial\theta}=0をうまいこと変形すれば求まるか？
$ \implies\sin(\alpha-\theta-(\theta-\phi))\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)-\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)\sin(\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi)=0
$ \implies\sin(\alpha-\theta-(\theta-\phi))\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)=\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)\sin(\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi)
$ \implies\frac{\sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)}{\sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)}=\frac{\sin(\alpha-\theta-(\theta-\phi))}{\sin(\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi)}
$ \theta消えないじゃん……
↓のPDFを見て、$ \thetaをまともにとかないと、先に進めないことを悟ったので、もう少し式展開する
$ \sin(\alpha-\theta)\sin(\theta-\phi)=\frac12\cos(\alpha-\theta-(\theta-\phi))-\frac12\cos(\alpha-\phi)
$ \sin(\theta-\beta)\sin(\alpha-\theta+\delta+\phi)=\frac12\cos(\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi)-\frac12\cos(\alpha-\beta+\delta+\phi)
$ \varphi_0:=\alpha-\theta-(\theta-\phi),\varphi_1:=\alpha-\theta-(\theta-\beta)+\delta+\phi,\omega_0:=\alpha-\phi,\omega_1:=\alpha-\beta+\delta+\phiとして、ここまで変形できた
$ \frac{\cos\varphi_0-\cos\omega_0}{\cos\varphi_1-\cos\omega_1}=\frac{\sin\varphi_0}{\sin\varphi_1}
$ \implies\sin\varphi_1\cos\varphi_0-\sin\varphi_1\cos\omega_0=\sin\varphi_0\cos\varphi_1-\sin\varphi_0\cos\omega_1
$ \implies\sin\varphi_1\cos\varphi_0-\sin\varphi_0\cos\varphi_1=\sin\varphi_1\cos\omega_0-\sin\varphi_0\cos\omega_1
$ \implies\sin(\varphi_1-\varphi_0)=\sin\varphi_1\cos\omega_0-\sin\varphi_0\cos\omega_1
これも行き詰まりそう……
$ \varphi_1=\varphi_0+\beta+\deltaだから、更に$ \thetaに依存する項を減らせる
$ \implies\sin(\beta+\delta)=(\sin\varphi_0\cos(\beta+\delta)+\cos\varphi_0\sin(\beta+\delta))\cos\omega_0-\sin\varphi_0\cos\omega_1
以上より
$ |\pmb{Q_a}|=\frac12\gamma_tH^2\frac{\sin(\alpha-\beta)}{(\sin\alpha)^2}\frac{\sin\varphi_0}{\sin\varphi_1}
ここまであってるtakker.icon
$ X:=\frac{\sin\varphi_0}{\sin\varphi_1}とする
$ \frac{\partial X}{\partial \theta}\sin\varphi_1+X\cos\varphi_1=\cos\varphi_0
$ \frac{\partial|\pmb{Q_a}|}{\partial\theta}=0
$ \iff \frac{\partial X}{\partial \theta}=0
$ \iff X\cos\varphi_1-\cos\varphi_0=0
以上より、以下の3式を得た
$ \begin{dcases}X\cos\varphi_1-\cos\varphi_0=0\\\cos\varphi_0-\cos\omega_0-X(\cos\varphi_1-\cos\omega_1)=0\\(\cos\varphi_0)^2+(\sin\varphi_0)^2=1\end{dcases}
あと$ \cos\varphi_1=\sin\varphi_0\cos(\beta+\delta)+\cos\varphi_0\sin(\beta+\delta)
これらを組んで$ \varphi_0を消去した$ Xの式を求める
予習
壁の変形パターン
14:10:18 めちゃくちゃ時間が余ったので、実験の動画とか流している