Reynolds応力方程式
$ \frac1\rho\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_T}{\overline{\rm D}t}=-\bm P-\bm F-\bm\Pi-\bm\nabla\cdot{\cal\pmb J}+\bm\varepsilon
$ \bm P:=\frac2\rho{\cal\pmb S}:\bm\sigma_T\cdot\overline{\bm l}：生成項
$ \bm F:=2{\cal\pmb S}:\overline{\bm v'\bm f'}：物体力による生成項
$ \bm\varepsilon:=2\nu\overline{{\bm l'}^\top\cdot\bm l'}散逸項
エネルギ散逸率$ \varepsilonと$ \varepsilon=\frac12\mathrm{tr}\bm\varepsilonの関係にある $ {\cal\pmb J}:={\cal\pmb J}_T+{\cal\pmb J}_P+{\cal\pmb J}_\Nu拡散項
$ {\cal\pmb J}_T:=-\overline{\bm v'\bm v'\bm v'}速度変動による拡散流束
$ {\cal J}_{Pijk}:=\frac1\rho\overline{p'v'_{i}}\delta_{kj}+\frac1\rho\overline{p'v'_{j}}\delta_{ki}圧力変動による拡散流束
$ {\cal\pmb J}_\Nu:=\frac\nu\rho\bm\nabla\bm\sigma_T粘性による拡散流束
高次の速度相関項$ {\cal\pmb J}_T=-\overline{\bm v'\bm v'\bm v'}が現れる。
これを解こうとしてもさらに高次の項が出現し、際限がない
このように乱流では必ず未知数が式の数より多くなり、これを乱流の完結問題と呼ぶ 導出
$ \rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}+\rho\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v=\rho\bm f'-\bm\nabla p'+\mu\bm\nabla^2\bm v'+\rho\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'}
$ \implies\rho\bm v'\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}+\rho\bm v'\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v=\rho\bm v'\bm f'-\bm v'\bm\nabla p'+\mu\bm v'\bm\nabla^2\bm v'+\rho\bm v'\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'}
$ =\rho\bm v'\bm f'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+p'(\bm\nabla\bm v')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-\mu(\bm\nabla\bm v')^\top\cdot\bm\nabla\bm v'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'+\rho\bm v'\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'}
$ =\rho\bm v'\bm f'+p'(\bm\nabla\bm v')^\top-2\mu(\bm\nabla\bm v')^\top\cdot\bm\nabla\bm v'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')+\rho\bm v'\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'}
$ =\rho\bm v'\bm f'+p'\bm l'^\top-2\mu{\bm l'}^\top\cdot\bm l'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-\bm v'\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R
$ \bm\sigma_R:=-\rho\overline{\bm v'\bm v'}Reynolds応力 $ \iff\rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'\bm v'}{\overline{\rm D}t}-\rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}\bm v'+\rho\bm v'\bm v'\cdot\bm\nabla\overline{\bm v}+\rho\bm\nabla\cdot\bm v'\bm v'\bm v'-\rho(\bm\nabla\cdot\bm v')\bm v'\bm v'-\rho(\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v')\bm v'
$ =\rho\bm v'\bm f'+p'\bm l'^\top-2\mu{\bm l'}^\top\cdot\bm l'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-\bm v'\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R
$ \iff-\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_R}{\overline{\rm D}t}-\rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}\bm v'-\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}+\rho\bm\nabla\cdot\bm v'\bm v'\bm v'+(\bm\nabla\cdot\bm v')\bm\sigma_R-\rho(\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v')\bm v'
$ =\rho\bm v'\bm f'+p'\bm l'^\top-2\mu{\bm l'}^\top\cdot\bm l'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-\bm v'\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R
$ \iff-\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_R}{\overline{\rm D}t}-\rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}\bm v'+(\bm\nabla\cdot\bm v')\bm\sigma_R-\rho(\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v')\bm v'
$ =\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}+\rho\bm v'\bm f'+p'\bm l'^\top-2\mu{\bm l'}^\top\cdot\bm l'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-\rho\bm\nabla\cdot\bm v'\bm v'\bm v'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-\bm v'\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R
$ \iff-\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_R}{\overline{\rm D}t}-\rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}\bm v'-\rho(\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v')\bm v'
$ =\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}+\rho\bm v'\bm f'+p'\bm l'^\top-2\mu{\bm l'}^\top\cdot\bm l'-\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-\rho\bm\nabla\cdot\bm v'\bm v'\bm v'-\bm\nabla (\bm v'p')^\top+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-\bm v'\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R
$ \because\bm\nabla\cdot\bm v'=0
$ \implies-\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_R}{\overline{\rm D}t}=2{\cal\pmb S}:\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}+2{\cal\pmb S}:\rho\bm v'\bm f'+2p'\bm d'-2\mu{\bm l'}^\top\cdot\bm l'-\rho\bm\nabla\cdot\bm v'\bm v'\bm v'-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla (\bm v'p')+\mu\bm\nabla^2(\bm v'\bm v')-2{\cal\pmb S}:\bm v'\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R
$ \rho\frac{\overline{\rm D}\bm v'}{\overline{\rm D}t}\bm v'+\rho(\bm v'\cdot\bm\nabla\bm v)\bm v'=\rho\bm f'\bm v'-(\bm\nabla p')\bm v'+\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'+\rho(\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'})\bm v'
$ = \rho\bm f'\bm v'+p'\bm l'-\bm\nabla(p'\bm v')+\mu(\bm\nabla^2\bm v')\bm v'-(\bm{\nabla}\cdot\bm\sigma_R)\bm v'
を代入
$ \implies-\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_R}{\overline{\rm D}t}=2{\cal\pmb S}:\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}+2{\cal\pmb S}:\rho\overline{\bm v'\bm f'}+2\overline{p'\bm d'}-2\mu\overline{{\bm l'}^\top\cdot\bm l'}-\rho\bm\nabla\cdot\overline{\bm v'\bm v'\bm v'}-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\overline{p'\bm v'}+\nu\bm\nabla^2\bm\sigma_R-0
$ \iff\frac{\overline{\rm D}\bm\sigma_R}{\overline{\rm D}t}=-2{\cal\pmb S}:\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}-2{\cal\pmb S}:\rho\overline{\bm v'\bm f'}-2\overline{p'\bm d'}+2\mu\overline{{\bm l'}^\top\cdot\bm l'}+\rho\bm\nabla\cdot\overline{\bm v'\bm v'\bm v'}+2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\overline{p'\bm v'}-\nu\bm\nabla^2\bm\sigma_R
$ =-2{\cal\pmb S}:\bm\sigma_R\cdot\overline{\bm l}-2{\cal\pmb S}:\rho\overline{\bm v'\bm f'}-2\overline{p'\bm d'}+\bm\nabla\cdot(\rho\overline{\bm v'\bm v'\bm v'}-\nu\bm\nabla\bm\sigma_R)+2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\overline{p'\bm v'}+2\mu\overline{{\bm l'}^\top\cdot\bm l'}
$ =:-\rho\bm P-\rho\bm F-\rho\bm\Pi-\rho\bm\nabla\cdot{\cal\pmb J}+\rho\bm\varepsilon
References