Maxwell-Bettiの相反定理

構造と連続体の力学基礎熊でもわかる変形できる物体の力学 3.5.3「相反定理 — 異なる問題同士の仮想仕事式」を読む

仮想仕事式 (連続体力学)から出発する？

位置$ \pmb\xiに集中外力$ \pmb p(\pmb\xi)が作用している時、分布外力$ \pmb Rは

$ \pmb R=\pmb p(\pmb\xi)\delta(\pmb x-\pmb\xi)

と表される

$ \pmb qは後ほど使うので、別の記号$ \pmb Rを使った

cf. Diracのdelta函数の性質

$ \int_B\pmb f(\pmb x)\delta(\pmb x-\pmb\xi)\mathrm dV=\pmb f(\pmb\xi)\llbracket\pmb\xi\in B\rrbracket

物体$ Bに$ \pmb p(\pmb\xi)のみが作用しているとき、力の釣り合いおよび境界条件は下式となる

$ \pmb0=\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)+\pmb p(\pmb\xi)\delta(\pmb x-\pmb\xi)

$ \pmb u(\pmb x,\pmb\xi)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_K

$ \pmb n(\pmb x)\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_S

ここに、

$ \pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)：$ \pmb\xiに$ \pmb p(\pmb\xi)が作用しているときの位置$ \pmb xの応力

$ \pmb u(\pmb x,\pmb\xi)：$ \pmb\xiに$ \pmb p(\pmb\xi)が作用しているときの位置$ \pmb xの変位

$ \pmb n(\pmb x)：位置$ \pmb xにおける微小面素の単位法線vector

$ \partial B_K：$ \partial Bのうち変位が拘束されている領域

$ \partial B_S:=\partial B\setminus\partial B_K：自由表面領域

$ \pmb\xiはどこに属するんだ？takker.icon

$ \pmb\xi\notin\partial B_Sなのは確かだが……変位0としていいのか？

どこでもいい

この系を$ \Xiとする

外力を$ \pmb p(\pmb\eta)に変えた別の系$ \Etaを考える。式は以下の通り

$ \pmb0=\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\eta)+\pmb p(\pmb\eta)\delta(\pmb x-\pmb\eta)

$ \pmb u(\pmb x,\pmb\eta)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_K

$ \pmb n(\pmb x)\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\eta)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_S

系$ \Etaを補助系として、系$ \Xiについて仮想仕事式を立てる

$ \pmb u(\pmb x,\pmb\eta) \cdot(\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)+\pmb p(\pmb\xi)\delta(\pmb x-\pmb\xi))=0

$ \implies \int_B\pmb u(\pmb x,\pmb\eta)\cdot\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV+\int_B\pmb u(\pmb x,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)\delta(\pmb x-\pmb\xi)\mathrm dV=0

$ \iff \int_{\partial B}\pmb u(\pmb x,\pmb\eta)\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\cdot\mathrm d\pmb S-\int_B\pmb\nabla\pmb u(\pmb x,\pmb\eta):\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV+\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)=0

$ \because \pmb\nabla\cdot(\pmb a\cdot\pmb A)=\pmb\nabla\pmb a:\pmb A+\pmb a\cdot\pmb A\cdot\overleftarrow{\pmb\nabla}

前形と後形の区別が正確でないが、今回の計算結果には影響しないだろうから無視する

$ \iff 0-\int_B\pmb\nabla\pmb u(\pmb x,\pmb\eta):\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV+\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)=0

$ \because

$ \pmb u(\pmb x,\pmb\eta)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_K

$ \pmb n(\pmb x)\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\eta)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_S

$ \iff \pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)=\int_B\pmb\nabla\pmb u(\pmb x,\pmb\eta):\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV

$ = \int_B(\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta)+\pmb\omega(\pmb x,\pmb\eta)):\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV

$ = \int_B(\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta)+\pmb 0):\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV

$ \because \pmb\sigmaが対称tensorだから、反対称tensor$ \pmb\omegaが消える

$ = \int_B\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta):\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV

Hookeの法則$ \pmb\sigma={\cal\pmb C}:\pmb\varepsilonを用いて、$ \pmb\varepsilonで書き直す

$ \implies \int_B\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta):{\cal\pmb C}:\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV=\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)ー①

同様に、系$ \Xiを補助系として、系$ \Etaについて仮想仕事式を立てる

$ \int_B\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\xi):{\cal\pmb C}:\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta)\mathrm dV=\pmb u(\pmb\eta,\pmb\xi)\cdot\pmb p(\pmb\eta)ー②

もし、ひずみエネルギ密度が存在するなら弾性係数tensorが対称tensor$ {\cal\pmb C}^\top={\cal\pmb C}になるので

ここは全く理解していないtakker.icon

自己随伴系とやらになるらしい

つまり、超弾性体なら何でもいい

$ ①\land②\implies\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)=\int_B\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta):{\cal\pmb C}:\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\xi)\mathrm dV=\int_B\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\xi):{\cal\pmb C}:\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta)\mathrm dV=\pmb u(\pmb\eta,\pmb\xi)\cdot\pmb p(\pmb\eta)

$ \boxed{\therefore\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)\cdot\pmb p(\pmb\xi)=\pmb u(\pmb\eta,\pmb\xi)\cdot\pmb p(\pmb\eta)}(Bettiの相反定理)

$ \pmb p(\pmb\xi),\pmb p(\pmb\eta)が任意なので

$ \boxed{\therefore\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)=\pmb u(\pmb\eta,\pmb\xi)}(Maxwellの相反定理)

$ \pmb\etaに単位荷重を与えたときの変位の影響線の$ \pmb x=\pmb\xiの値は、$ \pmb\xiに単位荷重を与えたときの変位の影響線の$ \pmb x=\pmb\etaの値と等しい

も成り立つ

これが自己随伴系のもつ著名な性質らしい

任意点に働く集中荷重ではなく、有限領域に働く分布荷重に一般化することもできるらしい

p. 101 - 102

①、②は仮想仕事式 (連続体力学)から直接導けそう

$ \Etaを補助系としたときの仮想仕事式は

$ \int_B\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi):\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta)\mathrm{d}V=\int_{\partial B}(\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)\cdot\pmb u(\pmb x,\pmb\eta))\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_B\pmb p(\pmb\xi)\delta(\pmb x-\pmb\xi)\cdot\pmb u(\pmb x,\pmb\eta)\mathrm{d}V

となる。これに $ \pmb u(\pmb x,\pmb\xi)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_Kと$ \pmb n(\pmb x)\cdot\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi)=0\quad\text{.for }\forall\pmb x\in\partial B_Sを代入して

$ \int_B\pmb\sigma(\pmb x,\pmb\xi):\pmb\varepsilon(\pmb x,\pmb\eta)\mathrm{d}V=0+\int_B\pmb p(\pmb\xi)\delta(\pmb x-\pmb\xi)\cdot\pmb u(\pmb x,\pmb\eta)\mathrm{d}V=\pmb p(\pmb\xi)\cdot\pmb u(\pmb\xi,\pmb\eta)

あとはHookeの法則を代入し、補助系と主系を入れ替えた式も用意して組み合わせれば、Bettiの相反定理が求まる

4.5.4 不静定梁の影響線

Müller-Breslauの原理を使う

……単純に相反定理を適用しているだけのようだが……まあいいや。

たわみの影響線を求める

点$ \pmb x'でのたわみの影響線は$ \pmb x\mapsto\pmb u(\pmb x',\pmb x)である。これを求めたい

Maxwellの相反定理より$ \pmb u(\pmb x',\pmb x)=\pmb u(\pmb x,\pmb x')

よって、位置$ \pmb x'に単位荷重を作用させたときのたわみ$ \pmb x\mapsto\pmb u(\pmb x,\pmb x')が、求めるたわみの影響線になる

たわみ角の影響線を求める

$ x'に単位荷重momentが作用したときのたわみを$ u^*(x,x')とする

たわみの微分方程式より

$ -EI\frac{\partial^4u^*}{{\partial x}^4}+\frac{\partial\delta(x-x')}{\partial x}=0