MaA-2025F-2.@2025-04-21T13:00D90
偏差と残差の定義が文献によってばらついていて紛らわしいtakker.icon 測定値を$ M_\bulletとするとこんな感じ
標本平均$ \overline{M}=\frac1n\sum_{0<i\le n}M_i $ n：測定回数
最尤推定値$ m=\lim_{n\to\infty}M_n (母集団が可算無限個の場合) 測定値$ M_iの残差：$ M_i-\overline{M} References
誤差の種類
物差しが10cm長かったとか
2. 系統的誤差：何かの原因により規則的に生じる誤差 代表例としては温度による目盛のずれによ誤差．
例：メスシリンダー
メニスカスの下を見ないとだめ
適切に対処すれば取り除けるerrors
制御できるerrorsともいえる
制御できないような測定条件や環境条件などのわずかな変動により偶発的に発生する誤差．
同じ文献を参照してるのかも
誤差じゃなくて残差と呼ぶべきだと思うが、なんでか知らないが全部「XX誤差」と呼んでいる
以下、偶然誤差をできるだけ除くための統計的処理の話をする 連続型確率変数$ X の累積分布函数$ F_X:\R\ni x\mapsto P(X^\gets(\R_{\le x}))\in[0,1] にて、$ F_X(x)=\int_{t\le x}f_X(t)\mathrm dtを満たす$ f_Xを、確率変数$ Xの確率密度函数と呼ぶ ここで、$ \int_x^{x+\varDelta x}f_X(t)\mathrm dt=F_X(x+\varDelta x)-F_X(x)
$ = P(X^\gets(\R_{\le x+\varDelta x}))-P(X^\gets(\R_{\le x}))
$ = P(X^\gets([x,x+\varDelta x]))
$ \therefore P(X^\gets([x,x+\mathrm d x]))=\mathrm dF_X(x)=F_X(x+\mathrm dx)-F_X(x)=f_X(x)\mathrm dx
すなわち、$ Xが$ xから$ x+\mathrm d xまでの値を取りうる事象が起こりうる確率は$ f_X(x)\mathrm dxと表される
誤差$ \varepsilonが$ x\le\varepsilon\le x+\mathrm dxとなる確率は$ f_X(x)\mathrm dx である
誤差の3公理より$ f_Xは正規分布$ f_X:x\mapsto\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)に従う $ \sigma:=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}：標準偏差 $ \mu:=\operatorname{E}(X)：平均 期待値と分散
$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\},\mathcal F:=2^\Omega とし、$ P:\mathcal F\to[0,1] を$ \forall i\in\Omega:P(\{i\})=\frac16を満たす函数とすれば、サイコロの目の確率は確率空間$ (\Omega,\mathcal F,P)に従う
サイコロの目は確率変数$ X:\Omega\ni i\mapsto i\in\Omegaで表せる よって、サイコロの$ iの目が出る確率は、確率質量函数$ p_X(i):=P(X^\gets(\{i\}))で表せる $ \operatorname E(X)=\sum_{i\in\Omega} ip_X(i)
ここが一般的な期待値の定義に沿っているのか不安takker.icon 一般には、統計量$ g:\Chi\to\Rの期待値を$ \operatorname E(g):=\sum_{i\in\Chi}g(i)p_X(i)と定義する $ =\frac16+\frac26+\frac36+\frac46+\frac56+\frac66
$ =3.5
$ \operatorname{Var}(X)=\sum_{1<i}(i-\operatorname E(X))^2p_i
$ =\frac16((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)
$ = \frac16((-2.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2+(2.5)^2)
$ =\frac13(2.5^2+1.5^2+0.5^2)
$ = \frac1{12}(25+9+1)
$ = \frac{35}{12}
$ \simeq2.916\cdots
となる
$ \operatorname{Cov}(X,Y):=\operatorname E((X-\operatorname E(X))(Y-\operatorname E(Y)))
$ \operatorname\Sigma(X,Y):=\begin{pmatrix}\operatorname{Cov}(X,X)&\operatorname{Cov}(X,Y)\\\operatorname{Cov}(Y,X)&\operatorname{Cov}(Y,Y)\end{pmatrix}
問いの解答