Hausdorffの公理系→開核公理系

(N1)$ \forall x\in X:X\in\mathcal N(x)∀x∈X(X∈𝒩(x))

(N2)$ \forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N∀x∈X∀N∈𝒩(x)(x∈N)

(N3a)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)∀x∈X∀N1,N2∈𝒩(x)(N1∩N2∈𝒩(x))

(N3b)$ \forall x\in X\forall N:(2^N\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\implies N\in\mathcal N(x))∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

(N4)$ \forall A\in2^X:\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)∀x∈X∀N1∈𝒩(x)∃N2∈𝒩(x)∀y∈N2(N1∈𝒩(y))

(N0)$ A^\circ=\{x\in X\mid A\in\mathcal N(x)\}

から開核公理系(I1)~(I4)と(I0)

(I1) $ X^\circ =XX^∘=X

(I2) $ \forall A\in2^X:A^\circ\subseteq A∀A∈2^X(A^∘⊆A)

(I3) $ \forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ∀A,B∈2^X((A∩B)^∘=A^∘∩B^∘)

(I4) $ \forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ∀A∈2^X(A^∘∘=A^∘)

(I0)$ \forall x\in X:\mathcal N(x)=\{N\in2^X\mid x\in N^\circ\}

を導く

証明

(N1)~(N3b)∧(N0)⇒(I1)~(I3)∧(I0)はfilter場の公理→擬開核の公理と全く同じ

(N4)⇒(I4)だけ示せばいい

(I4)

$ \iff\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x): N_2\subseteq {N_1}^\circ

$ \because(N0)

$ \iff\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x):{N_1}^\circ\in\lang\mathcal N(x)\rang_X

$ \lang\bullet\rang_\bullet：拡張 (集合)

$ \implies\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x):{N_1}^\circ\in\mathcal N(x)

$ \iff\forall N_1\in2^X\forall x\in{N_1}^\circ:N_1^\circ\in\mathcal N(x)

$ \because(N0)

$ \iff\forall N_1\in2^X\forall x\in{N_1}^\circ:x\in{{N_1}^\circ}^\circ

$ \because(N0)

$ \iff\forall N_1\in2^X:{N_1}^\circ\subseteq{{N_1}^\circ}^\circ

$ \iff\forall A\in2^X:A^\circ\subseteq{A^\circ}^\circ

$ \underline{\implies\forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ\quad}_\blacksquare

(I2)∧(I0)⇔(N2)∧(N0)だったはず

つまり、もっと条件を緩めた作用素の関係が存在する？