Green函数
$ \mathcal LG(\bm x,\bm y)=\delta(\bm x-\bm y)
ただし、$ \mathcal Lは$ \bm xのみに作用する作用素とする
動機
任意の線型微分方程式は何らかの線型作用素$ \mathcal Lを使って以下のように表せる $ \mathcal L\bm f(\bm x)=\bm g(\bm x)
このとき、$ \mathcal Lに逆函数$ \mathcal L^{-1}があれば、$ \bm fは簡単に求まる
これを見つけるのは容易ではないが、もし$ \mathcal LのGreen函数$ \bm Gが存在するなら、 $ \bm f(\bm x)=\int_I\bm G(\bm x,\bm y)\bm f(\bm y)\cdot\mathrm d\bm y
と求まる
実際これが$ \bm f(\bm x)になることは$ \mathcal L\int_I\bm G(\bm x,\bm y)\bm f(\bm y)\cdot\mathrm d\bm y=\int_I\mathcal L\bm G(\bm x,\bm y)\bm f(\bm y)\cdot\mathrm d\bm y
$ \because\mathcal Lは$ \bm xの線型演算子
$ = \int_I\delta(\bm x-\bm y)\bm f(\bm y)\cdot\mathrm d\bm y
$ = \bm f(\bm x)
で示せる
このときの$ \mathcal L^{-1}をGreen演算子$ \hat{G}と呼ぶこともある References
特定のGreen函数ではなく、Green函数と呼ばれるもの全体について、理屈がわかるように説明してある