Fourier級数を実表示から複素表示に変換する
無限級数展開の場合
これを手書きで一度やった気がしたのだが、メモが見つからない
紙に書いたのかも
$ \frac{V_0}{2} + \sum_{n\in\N} V_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T} t\right) + \sum_{n\in\N} b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T} t\right)
$ = \frac12\left(V_0+\sum_{n\in\N}\left(V_ne^{\frac{2\pi i}{T}nt}+V_ne^{-\frac{2\pi i}{T}nt}-ib_ne^{\frac{2\pi i}{T}nt}+ib_ne^{-\frac{2\pi i}{T}nt}\right)\right)
$ = \frac12\left(V_0+\sum_{n\in\N}\left((V_n-ib_n)e^{\frac{2\pi i}{T}nt}+(V_n+ib_n)e^{-\frac{2\pi i}{T}nt}\right)\right)
$ = \frac12V_0+\sum_{n\in\N}\left(c_ne^{\frac{2\pi i}{T}nt}+{c_n}^*e^{-\frac{2\pi i}{T}nt}\right)
$ c_n:=\frac12(V_n-ib_n)とした
$ = \frac12V_0+\sum_{n\in\Z\setminus\{0\}}c_ne^{\frac{2\pi i}{T}nt}
$ c_{-n}:={c_n}^*とした
$ =\sum_{n\in\Z}c_ne^{\frac{2\pi i}{T}nt}
$ b_0:=0とした
$ \frac{V_0}{2} + \sum_{n\in\N} V_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T} t\right) + \sum_{n\in\N} b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T} t\right)
$ =\sum_{n\in\Z}c_ne^{\frac{2\pi i}{T}nt}
$ c_n:=\frac12(V_n-ib_n)と
$ c_{-n}:={c_n}^*としたした
$ b_0:=0とした
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