連続体の運動方程式をLagrange的に求める
$ \mathrm{d}(m_i\pmb v_i)=\pmb T_i\mathrm dt
$ \bullet_i：$ iで添え字づけられた質点の物理量 $ m_i,\pmb T_iを、単位体積あたりの量に書き換える
$ \mathrm d(\rho_i\mathrm dV_i\pmb v_i)=\pmb t_i\mathrm dV_i\mathrm dt
質点$ iの時刻$ tにおける体積を$ \mathrm dV_iとした
$ iと時刻$ tを引数とした函数として書き直す
$ \frac{\partial}{\partial t}(\rho(i,t)\mathrm dV(i,t)\pmb v(i,t))=\pmb t(i,t)\mathrm dV(i,t)
$ \mathrm dV(\pmb X,t)=J\mathrm dV(\pmb X,0)
$ J:=\det\pmb F
$ \frac{\partial}{\partial t}(\rho(\pmb X,t)\dot{\pmb\phi}(\pmb X,t)J\mathrm dV)=\pmb t(\pmb X,t)J\mathrm dV
$ \frac{\partial}{\partial t}(\rho(\pmb X,t)\dot{\pmb\phi}(\pmb X,t)J)=\pmb t(\pmb X,t)J
$ \iff0+\rho(\pmb X,t)J\frac{\partial}{\partial t}(\dot{\pmb\phi}(\pmb X,t))=\pmb t(\pmb X,t)J
$ \iff\rho(\pmb X,t)\ddot{\pmb\phi}(\pmb X,t)=\pmb t(\pmb X,t)
$ \frac{\partial}{\partial t}(\rho(\pmb X,t)J\mathrm dV)=0
$ \iff\frac{\partial}{\partial t}(\rho(\pmb X,t)J)=0