合成積と畳み込み積分
合成積$ *の定義
$ x*y:t\mapsto\int_\R x(\tau)y(t-\tau)\mathrm d\tau
別名
畳み込み
性質
交換法則
$ x*y=y*x
証明
$ x*y(t)=\int_\R x(\tau)y(t-\tau)\mathrm d\tau
$ = -\int_{\tau\in\R} x(t-(t-\tau))y(t-\tau)\mathrm d(t-\tau)
$ = \int_\R y(\tau)x(t-\tau)\mathrm d\tau
積分範囲が$ \tau=\inftyから$ \tau=-\inftyなので、マイナスを使って反転させた
$ = y*x(t)
$ ({\cal F}(x)*{\cal F}(y))(\omega)={\cal F}^{-1}\circ{\cal F}({\cal F}(x)*{\cal F}(y))(\omega)
$ = {\cal F}^{-1}(\omega\mapsto{\cal F}^2(x)(\omega){\cal F}^2(y)(\omega))(\omega)
$ {\cal F}(f)(\omega)=\int_\R f(t)e^{-i\omega t}\mathrm d t=2\pi{\cal F}^{-1}(f)(-\omega)だから
References
んん？定義が違う……