Laplace変換

$ \mathcal L(f):s\mapsto\int_0^\infty e^{-st}f(t)\mathrm dt

動機

Fourier変換を使うと微分方程式を代数方程式に変換できて便利

しかし、絶対可積分函数のみしか適用できない

$ xみたいな絶対可積分でない函数でも、Fourier変換みたく代数方程式に変換できる物が欲しい

ということで、絶対可積分でない函数でもFourier変換っぽく変換できるように開発されたのがLaplace変換

$ f*g(x):=\int_0^xf(x-y)g(y)\mathrm dy

Fourier変換での合成積とは定義が違う

$ \mathcal L(f*g)=\mathcal L(f)\mathcal L(g)が成立する

性質

$ \mathcal L(f')(s)=s\mathcal L(f)(s)-f(0)

$ \forall a>0:\mathcal L(f(at))(s)=\frac1a\mathcal L(f)\left(\frac sa\right)

$ \mathcal L(\delta)(s)=1