順序数
参考文献
順序集合$ \lang X,\leq \rangに対し，任意の非空な部分集合$ A \sube Xが最小元$ \min Aを持つなら，$ \lang X,\leq \rangは整列集合と呼ぶ． $ Xが整列集合であるとき，$ A\coloneqq\{a,b\} \sube Xとする．
$ Aは最小元を持つ．それは少なくとも$ a,bのどちらかである．
$ aが最小限なら$ a \leq bとすればよい．
$ bが最小限なら$ b \leq aとすればよい．
これが任意の$ Aで成り立つので，したがって$ Xは全順序集合$ \lang X,\leq \rangである．
整列集合$ \lang A,\leq \rang，$ a,b \in Aについて $ a < b \equiv a \leq b \land a \neq bと定義する．
整列集合$ \lang A,\leq \rangとする．$ P(x)は$ A上の述語とする． 次が成り立てば，任意の$ a \in Aについて$ P(a)．
任意の$ a \in Aとして，$ a' < aである全ての$ a'で$ P(a') \implies P(a)．
注意
ほとんど自明だが自然数とその上の通常の順序による順序集合$ \lang \N,\leq \rangは整列集合である． 定義
整列集合$ \lang A,\leq \rangについて，$ b \in Aが以下を満たすなら$ a \in Aの後続元であると呼ぶ． $ a < c < bな$ c \in Aが存在しない．
整列集合$ \lang A,\leq \rangについて，$ a \in Aが$ a \ne \max Aであるなら，$ aには後続元が一意に存在する． 順序集合$ \lang X,\leq_X \rangと$ \lang Y,\leq_Y \rangについて，次を満たす全単射$ fは順序同型写像と言い，$ X,Yは順序同型であるという． 任意の$ x_1,x_2に対し$ x_1 \leq_X x_2 \implies f(x_1) \leq_y f(x_2)
$ X,Yが順序同型であるとき$ X,Yは同じ順序型を持つという． 非形式的な定義
順序数$ \alphaに対応する整列集合$ \lang A,\leq \rangがあって，それと同型な整列集合の代表が$ \alphaである，と考えることが出来る． 定義: 順序数の関係
順序数$ \alpha,\betaについて$ \alpha=\betaを
$ \alpha,\betaに対応する整列集合$ A,Bが同型であることとする．
このとき$ A,Bの選び方はどうでもよい．
順序数$ \alpha,\beta,\gammaについて
対称律$ \alpha = \beta \implies \beta = \alpha 推移律$ \alpha=\beta,\beta=\gamma \implies \alpha = \gamma 順序数$ \alpha,\betaについて$ \alpha < \betaを
$ \alpha,\betaに対応する整列集合$ A,Bについて，$ Bの切片と$ Aが同型であることとする．
やはり$ A,Bの選び方はどうでも良い．
$ \alpha \leq \beta \coloneqq \alpha = \beta \lor \alpha < \betaとする．
順序数$ \alpha,\beta,\gammaについて
$ \alpha \leq \beta, \beta \leq \alpha \implies \alpha = \beta
推移律$ \alpha \leq \beta,\beta \leq \gamma \implies \alpha \leq \gamma 定義: 順序数の和
定義: 順序数の積
定義: 順序数の冪
以下で定義される$ 0,1,2,3,\dots \omega,\omega+1,\omega+2,\omega+3,\dots,\omega+\omegaは全て順序数である．
$ 0 \coloneqq \emptyset
$ 1 \coloneqq \{0\} = \{ \emptyset \}
$ 2 \coloneqq \{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
$ 3 \coloneqq \{0,1,2\} = \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}
$ \vdots
$ \omega \coloneqq \{0,1,2,\dots\}
$ \omega+1 \coloneqq \{0,1,2,\dots,\omega\}
$ \omega+2 \coloneqq \{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1\}
$ \omega+3 \coloneqq \{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\omega+2\}
$ \vdots
$ \omega+\omega \coloneqq \{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots\}