整列集合の後続元の一意性
定理
整列集合$ \lang A,\leq \rangについて，$ a \in Aが$ a \ne \max Aであるなら，$ aには後続元が一意に存在する． 証明
1. $ A_b \coloneqq \{b \in A \mid a < b \}は$ aが最大元ではないので$ Aの非空集合である．
2. $ A_bも整列集合であるので最小元$ \min A_bが一意に存在する．$ a < \min A_b
3. $ a < c < \min A_bなる$ c \in Aが存在するなら，$ c \in A_bとなるはずで，$ c = \min A_bでないのは矛盾している．よってそのような$ cは存在しない．