上界・下界
上界(upper bound)、下界(lower bound)
イメージとしてはどこかしらに限界、範囲のようなものがあると上界・下界に関わる
上界なら上に限界があって、下界なら下に限界がある
関連:
($ \exists 上界)なら上に有界(upper bounded)
($ \exists 下界)なら下に有界(lower bounded)
(上に有界$ \land 下に有界)の場合は有界(bounded) 定義（上界・下界・上に有界・下に有界）
集合$ A 、実数の集合$ \mathbb{R} があり、$ A⊂\mathbb{R} を空でないとする。
元$ k∈\mathbb{R} が$ A の(一つの)上界 (じょうかい; upper bound) であるとは，$ x∈A, x≤k が成立すること。このときの$ k を$ A の上界という。
元$ l∈\mathbb{R} が$ A の(一つの)下界 (かかい; lower bound) であるとは，$ x∈A, l≤x が成立すること。このときの$ l が$ A の下界という。
上界が存在するとき，$ A は上に有界であるといい，下界が存在するするとき，$ A は下に有界であるという。
$ A が上に有界かつ下に有界のとき，$ A は有界 (bounded) であるという
上界、下界のうち、最大、最小のものは上限、下限となる。
具体例
$ A = \N = \{0, 1, ...\}
$ 0 \le x となり、下界($ l = 0 )が存在しているので下に有界
上界が存在しないので上に有界ではない
整数$ \Z = \{... , −n, . . . -2, −1, 0, 1, 2, ... , n, . . \} マイナス方向とプラス方向が無限なので非有界、上に有界でも下に有界でもない
実数$ \R
マイナス方向とプラス方向が無限なので非有界、上に有界でも下に有界でもない
$ S = \{ 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16\}
上界:
$ k = 16, 18, 20, ... などは上界の$ x \le k を満たすような要素
下界:
$ l = 2, 0, -2, ... などは下界の$ l \le x を満たすような要素
関連
確認用
Q. 上界
Q. 下界
Q. 上に有界
Q. 下に有界
Q. 有界なのはどんなときか
Q. $ S = \{ 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16\} の上界、下界を満たすような要素は何か
参考
上界、下界の定義
定義としてはこっちの方がわかりやすめ
図があって雰囲気は掴める
メモ
しっかり目の定義なので逆によくわからない
変更メモ
2025-02-15 上界、下界の変数が大文字のK, Lだとうまく理解できない、パースできないので小文字のk, lにする