上界・下界
上界(upper bound)、下界(lower bound)
定義（上界・下界・上に有界・下に有界）
集合$ A 、実数の集合$ \mathbb{R} があり、$ A⊂\mathbb{R} を空でないとする。
元$ K∈\mathbb{R} が$ A の(一つの)上界 (じょうかい; upper bound) であるとは，$ x∈A ⟹ x≤K が成立すること。このときの$ K を$ A の上界という。
元$ L∈\mathbb{R} が$ A の(一つの)下界 (かかい; lower bound) であるとは，$ x∈A ⟹ L≤x が成立すること。このときの$ L が$ A の下界という。
上界が存在するとき，$ A は上に有界であるといい，下界が存在するするとき，$ A は下に有界であるという。
$ A が上に有界かつ下に有界のとき，$ A は有界 (bounded) であるという
上界、下界のうち、最大、最小のものは上限、下限となる。
具体例
$ A = \N = \{0, 1, ...\} は、 $ 0 \le x となり、下界($ L = 0 )が存在してので下に有界
上界が存在しないので上に有界ではない
整数$ \Z
マイナス方向とプラス方向が無限なので非有界
実数数$ \R
マイナス方向とプラス方向が無限なので非有界
関連
確認用
Q. 有界
Q. 上界
Q. 下界
Q. 上に有界
Q. 下に有界
Q. 有界の具体例
Q. 上界の具体例
Q. 下界の具体例
参考
上界、下界の定義
定義としてはこっちの方がわかりやすめ
しっかり目の定義なので逆によくわからない
図があって雰囲気は掴める