ベッチ数 - pogi-log

ベッチ数

ベッチ数(Betti numbers)

グラフの連結成分の個数

0次元ベッチ数

グラフの連結成分の個数

以下のようなグラフ$ G があったとき、

$ V(G) = \{ 0, 1,2,3,4,5 \}

$ E(G) = \{(4, 5), (1, 3), (3, 2))\}

連結成分は$ \{0\}, \{4,5\}, \{1,2,3\} の3個

なので0次元ベッチ数は3

code:mermaid

flowchart LR

4 --- 5

1 --- 3

3 --- 2

1次元ベッチ数

グラフ Gからうまく n本の辺を選んで取り去っても Gが連結したままだが， n ＋ 1本の辺をどう取り去っても Gが連結でなくなるとき， Gの 1次元ベッチ数は nであるという。(ref: 『はじめてのトポロジーつながりの幾何学』)

一本道の繋がりしかないグラフは1次元ベッチ数0

環状線のグラフは1次元ベッチ数1

code:mermaid

flowchart LR

1 --- 2

2 --- 3

3 --- 4

4 --- 5

5 --- 1

ツリー

1次元ベッチ数が0であるグラフをツリーと呼ぶ

ツリーの頂点数aと変数bの間には以下の関係がある

$ a-b =1

グラフGの頂点の数をa、辺の数をb、1次元ベッチ数を$ p^i とするとき

$ p^i = a - b + 1

で導出することができる。

参考

確認用

Q. ベッチ数

Q. 0次元ベッチ数

Q. 1次元ベッチ数