ブール代数
ブール代数(ブールだいすう、boolean algebra)
イギリスの数学者G・ブールが論理計算の場として導入した代数系
ブール代数（ブール束）とは束論における可補分配束（complemented distributive lattice）のことである。 ブール束をきちんと定義するためにはかなりの知識が必要になる
真を1、偽を0
真偽を表す値を真理値(truth value)と呼ぶ
AND（論理積、$ \land ）、OR（論理和、$ \lor ）、NOT（論理否定、$ \lnot ）と0, 1で構成されると普通の論理演算ができる ブール代数は補元則があるので、逆元を持たない(らしい)
補元束は元と、元の否定を演算するときのルール(則)
$ x と$ x の否定$ \lnot x
$ x ∨ ¬x = 1
$ x ∧ ¬ x = 0
補元則の$ x ∨ ¬x = 1 については排中律 $ \land は交わり(meet)
$ \lor は結び(join)
集合を$ L として、今まで出てきた$ \land, \lor, \lnot, 0, 1 を組み合わせた組$ (L, \land, \lor, \lnot, 0, 1) がブール束
定義
集合$ L と$ L 上の二項演算$ \land (交わり(meet))、$ \lor (結び(join))の組$ (L, \land, \lor) が(R1)～(R4)を満たすとき、分配束(distrbutive lattice)と呼ぶ。 (R1)交換則
$ x ∧ y = y ∧ x
$ x ∨ y = y ∨ x
(R2)結合則
$ (x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z)
$ (x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z)
(R3)吸収則
$ (x ∧ y)∨ x =x
$ (x ∨ y)∧ x = x
(R4)分配則
$ (x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z)
$ (x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z)
$ L の特別な元$ 0, 1 と単項演算$ \lnot があったときの組を$ (L, \land, \lor, \lnot, 0, 1) とする。$ 0 は最小元、$ 1 は最大元。(R5)を満たすときは可補分配束(complemented distributive lattice)、ブール束(Boolean lattice)と呼ぶ。 (R5)補元則
$ x ∨ ¬y = 1
$ x \land \lnot y = 0
確認用
Q. ブール代数
Q. 交換則
Q. 結合則
Q. 吸収則
Q. 分配則
Q. 分配束(distrbutive lattice)
Q. 補元則
Q. ブール則
参考
関連
メモ